Question

选修4-5：不等式选讲已知实数a，b，c满足a＞b＞c，且有a+b+c=1，a2...

选修4-5：不等式选讲 已知实数a，b，c满足a＞b＞c，且有a+b+c=1，a2+b2+c2=1．求证：1＜a+b＜43．

Answer 1

证明：因为a+b=1-c，ab=
(a+b)2-(a2+b2)
2
=c2-c，所以a，b是方程x2-（1-c）x+c2-c=0的两个不等实根，
则△=（1-c）2-4（c2-c）＞0，解得-
1
3
＜c＜1．…（4分）
而（c-a）（c-b）=c2-（a+b）c+ab＞0，即c2-（1-c）c+c2-c＞0，解得c＜0，或c＞
2
3
（不和题意，舍去），…（7分）
所以-
1
3
＜c＜0，即1＜a+b＜
4
3
． …（8分）