Question

已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)，满足f(mn)=f(m)+f(n),且当x>1时,f(x)<0

1.求f(1)的值
2.判断f(x)的单调性
3.若f(3)=-1,解不等式f(x)-f(1/(x-2))<-2

Answer 1

（一）由题设，令m=n=1,则有f(1)=f(1)+f(1).∴f(1)=0.(二）可设0＜m＜n.则n/m＞1,∴f(n/m)＜0.一方面，0=f(1)=f[m×(1/m)]=f(m)+f(1/m).==>f(1/m)=-f(m).另一方面,0＞f(n/m)=f(n)+f(1/m)=f(n)-f(m).===>f(m)＞f(n).就是说，若0＜m＜n,则f(m)＞f(n).∴由单调性定义可知，在(0,+∞)上，函数f(x)递减。（三）∵f(3)=-1,∴f(9)=f(3×3)=f(3)+f(3)=-2.又f(1/(x-2))=-f(x-2).∴原不等式可化为f[x(x-2)]＜f(9).由此可得：x＞0,且x-2＞0,且x(x-2)＞9.==>x＞2,且x²-2x+1＞10,===>(x-1)²＞10.===>x＞(√10)-1.且x＞2.综上可知，原不等式的解为(√10-1,+∞).

Answer 2

1. f(1)=f(1*1)=f(1)+f(1)
f(1)=0

2. f(m+x)=f(m(1+x/m))=f(m)+f(1+x/m)<f(m) 因为f(x>0)<0 此处m>0,x>0
所以是减函数

3. f(3)-f(1/(3-2))=f(3)-f(1)=-1-0=-1>-2
不等式不成立

Answer 3

详解：
1.f(1*1)=f(1)=f(1)+f(1) 所以解得f(1)=0;
2.设a>1,则ay>y,有f(ay)=f(a)+f(y),因为当x>1时,f(x)<0，所以f(a)<0,所以
f(ay)<f(y),所以在定义域上单减
3.已知f(1)=0，f(3)=-1而且在（0，正无穷）都是单减的,不等式变形得f(x)<f(1/(x-2))-2,因为f(3)=-1，所以-2=-1 +（-1）=f(3)+f(3)=f(9),即f(x)<f(9)+f(1/(x-2)),即f(x)<f(9/(x-2)),然后根据单调递减得出x<9/(x-2)，接下来麻烦楼主自己解一下哈
其实这种自定义函数题就是要用好它给出的公式，再配以前面已经得出的结论就好了，数学符号好难打的，楼主看着给分咯

Answer 4

f(1)=0
由x>1时,f(x)<0得到其递减。