Question

怎么用有限覆盖定理证明致密性定理?

Answer 1

如下：

设﹛xn﹜为有界数橘尘芦列,并设它们全部包含在[a,b]内.如果它不存在收敛子序列,于是对[a,b]内的任
一点x0,都不可能是﹛xn﹜的某个子序列的极限。

因此恒存在一个邻域O﹙x0,δ﹚除了x0可能与有限个xn相等之外,其内不含其它的xα,而邻域系﹛O﹙x0,δ﹚﹜x0∈[a,b]构成[a,b]一个开覆盖。

由有限覆盖定理,能从﹛O﹙x0,δ﹚﹜x0∈[a,b]中选出有限个覆盖[a,b],当然也覆盖所有﹛xn﹜。

但是有限个这种邻域内至多包含有限个xn,产生矛盾。

因此﹛xn﹜存在收敛子列,致密性定理得证。

有限覆盖定理：设H是闭区间[a,b]的一个（无限）开覆盖，则必可以从H中选择有限个开区间来覆盖[a,b] 。

有限覆盖定理是一个有用而且重要的定理．它是数学分析处理问题的一种重要方法，在数学各领域中都有广泛的应用。

有限覆盖定理的作用是从覆盖闭区间的无限个开区间中能选出有限个开区间也覆盖这个闭区间。由“无限转化为有限”是质的兄族变化，它对证明函数的某些性质提供了新的数学方法。

有限覆盖定理是实数定理，还有确界存在定理；单调有界定理；闭区间套定理；聚点定理；柯西收敛准则的逆否命题。这6个定理是等价的，可以互相推出对方，它们都反应了实数的连续性与完备性，在数学分析圆带上有着重要的运用。

尤其是有限覆盖定理，它可以推广到n维空间（此时定理的描述会发生改变，但本质不变），从而定义了紧集和紧空间等。

当然，利用有限覆盖定理，还可以证明闭区间上连续函数的某些性质。在这里作为例子，利用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数一致连续。