Question

矩形ABCD中，P为CD边的中点，Q为AD边上的一点，若BCP、DPQ的面积分别为4和3，求BPQ

Answer 1

解：过P做PF⊥DC交BQ于E、交AB于F，为方便做题，△PQE面积是a、△PBE的面积是b、△BCP的面积是c、△PDQ是d，设则△BPQ的面积等于△PQE与△PBE的面积和即a+b，c=4、d=3
∵矩形ABCD中，P为CD边的中点
∴PF垂直平分PC、AB，AD∥PF∥BC、AD=PF=BC，DP=PC，△BCP和△PDQ是直角三角形
∴△PQE、△PBE公共边PE上的高和直角△BCP边BC和△PDQ边PQ上的高皆相等，设高为h
在直角△BAQ中，FE=AQ/2
AQ+DQ=EF+PE=AD=PF=BC
∴△PQE和△PBE面积相等，即a=b、△BPQ的面积等于2a或2b
a=PE·h/2、c=BC·h/2、d=DQ·h/2
AQ+DQ=AQ/2+PE、即2PE=AQ+2·DQ=BC+DQ
把2PE=BC+DQ两边同乘以h/2，得
2PE·h/2=BC·h/2+DQ·h/2
∴2a=c+d=7，即△BPQ的面积等于7
矩形AB作为长边或短边结论不变。