Question

两道概率题

1.顾客到银行办理业务时往往需要等待一段时间，而等待时间的长短与许多因素有关，比如，银行业务员办理业务的速度，顾客等待排队的方式等。为此，某银行准备采取两种排队方式进行试验，第一种排队方式是：所有顾客都进入第一个等待队列；第二种排队方式是：顾客在三个业务窗口处列队三排等待。为比较哪种排队方式使顾客等待的时间更短，银行各随机抽取10名顾客，他们在办理业务时所等待的时间(单位：分钟)如下：
方式1 6.5 6.6 6.7 6.8 7.1 7.3 7.4 7.7 7.7 7.7
方式2 4.2 5.4 5.8 6.2 6.7 7.7 7.7 8.5 9.3 10.0
要求：
(1)构建第一种排队方式等待时间均值的95%的置信区间；
(2)构建第二种排队方式等待时间均值的95%的置信区间；
(3)根据(1)和(2)的结果，你认为哪种排队方式更好？

2．为估计每个网络用户每天上网的平均时间是多少，随机抽取了225个网络用户的简单随机样本，得样本均值为6.5小时，样本标准差为2.5小时。
(1)试以95%的置信水平，建立网络用户每天平均上网时间的置信区间；
(2)在所调查的225个网络用户中，年龄在20岁以下的用户为90个。以95%的置信区间，建立年龄在20岁以下的网络用户比例的置信区间。

Answer 1

1.1
方式1和方式2的均值都是7.15，但方式1的样本标准差是0.4767，方式2的样本标准差是1.8216。用高斯分布来评估两个分布。
对于方式1：标准高斯分布的95%的置信区间应该是[-1.96,1.96]，由方式的均值7.15和标准差0.4767可求出方式一的置信区间，[x-(x均值)]/(标准差)=1.96，解得x=8.0843；[x-(x均值)]/(标准差)=-1.96，解得x=6.2157，即方式1的95%的置信区间为[6.2157,8.0843]。
1.2
对于方式2：方法同方式1，得到[3.5797,10.7203]，即是方式的95%的置信区间。
1.3显然，在均值（也可以说是期望）相同的情况下，方式1的95%的置信区间更小一些，使得顾客们的等待时间相差不大，公平性更好一些，所以方式1好一些。

2.1
所用解法与1.1类似，标准高斯分布的95%的置信区间应该是[-1.96,1.96]，[x-(x均值)]/(标准差)=1.96，可得到x=11.4；]，[x-(x均值)]/(标准差)=-1.96，可得到x=1.6，所以在95%的置信水平下，网络用户每天平均上网时间的置信区间为[1.6,11.4]。
2.2
这个问题有些棘手，不知道年龄分布的均值与标准差，但是知道了样本中，小于20岁的比例为90/225=0.4。我感觉这题需要用二项分布来解决。还需要用到Fisher分布进行估计，公式如下：
PL=V2/(V2+V1*F)
PU=V2/(V2+V1/F)
其中PL和PU分别是置信区间的两个极限值，V1＝2*（n-x）,V2=2*(x+1)，在本题中，n是样本数等于225，x是事件发生次数等于90，V1和V2分别是Fisher分布中的两个参数，且V1=270,V2=182。置信水平为0.95，可查表得到F，然后计算即可。我这里没有比较全面的F表，所以我解不出来了，呵呵。