Question

什么时候可以用重要极限，这道题为什么不行？

有时候加减法能用重要极限，有时候不能，判断条件是什么





Answer 1

lim(x->0) [ 1/(sinx)^2 - (cosx)^2/x^2 ]

=lim(x->0) [x^2- (sinx)^2.(cosx)^2]/[x^2.(sinx)^2]

=lim(x->0) [x^2- (sinx)^2.(cosx)^2]/x^4

=lim(x->0) [x^2- (1/4)(sin2x)^2]/x^4

洛必达

=lim(x->0) [2x- (1/2)(sin4x)]/（4x^3）

洛必达

=lim(x->0) [2- 2(cos4x)]/（12x^2）

=lim(x->0) (1- cos4x)/（6x^2）

=lim(x->0) (1/2)(4x)^2/（6x^2）

=4/3

//

第一个明显出错

lim(x->0) [ 1/(sinx)^2 - (cosx)^2/x^2 ]

=lim(x->0) [ 1/x^2 - (cosx)^2/x^2 ]

x->0 

根据泰勒公式

sinx = x -(1/6)x^3+ (1/120)x^5+...

不能简单地把 1/(sinx)^2  变成  1/x^2

一定要，经过通分母，然后比较分子，分母的阶数才成！

Answer 2

将无穷小代换 (sinx)^2 ~ x^2 局部代换于和差运算则错误。可代换于乘除运算。

Answer 3

0/0型时才能用等价无穷小替换，1/(sinx)^2不是0/0型，当然不能替换了。