Question

如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AF平分∠BAC，交BD于点F． （1）求证： AB-OF= 1

如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AF平分∠BAC，交BD于点F． （1）求证： AB-OF= 1 2 AC ；（2）点A 1 、点C 1 分别同时从A、C两点出发，以相同的速度运动相同的时间后同时停止，如图，A 1 F 1 平分∠BA 1 C 1 ，交BD于点F 1 ，过点F 1 作F 1 E⊥A 1 C 1 ，垂足为E，请猜想EF 1 ，AB与 1 2 A 1 C 1 三者之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）在（2）的条件下，当A 1 E 1 =6，C 1 E 1 =4时，求BD的长．

Answer 1

（1）证明：过F作FG⊥AB于G， ∵AF平分∠CAB，FO⊥AC，FG⊥AB， ∴OF=FG， ∵∠AOF=∠AGF=90°，AF=AF，OF=FG， ∴△AOF≌△AGF， ∴AO=AG， 直角三角形BGF中，∠DBA=45°， ∴FG=BG=OF， ∴AB=AG+BG=AO+OF= 1 2 AC+OF， ∴AB-OF= 1 2 AC． （2）过F 1 作F 1 G 1 ⊥A 1 B，过F 1 作F 1 H 1 ⊥BC 1 ，则四边形F 1 G 1 BH 1 是矩形． 同（1）可得EF 1 =F 1 G，因此四边形F 1 G 1 BH 1 是正方形． ∴EF 1 =G 1 F 1 =F 1 H 1 ， 即：F 1 是三角形A 1 BC 1 的内心， ∴EF 1 =（A 1 B+BC 1 -A1C1）÷2…① ∵A 1 B+BC 1 =AB+A 1 A+BC-CC 1 ，而CC 1 =A 1 A， ∴A 1 B+BC 1 =2AB， 因此①式可写成：EF 1 =（2AB-A 1 C 1 ）÷2， 即AB-EF1= 1 2 A 1 C 1 ． （3）由（2）得，F 1 是三角形A 1 BC 1 的内心，且E 1 、G 1 、H 1 都是切点． ∴A 1 E=（A 1 C 1 +A 1 B-BC 1 ）÷2， 如果设CC 1 =A 1 A=x， A 1 E=[A 1 C 1 +（AB+x）-（AB-x）]÷2=（10+2x）÷2=6， ∴x=1， 在直角三角形A 1 BC 1 中，根据勾股定理有A 1 B 2 +BC 1 2 =AC 1 2 ， 即：（AB+1） 2 +（AB-1） 2 =100， 解得AB=7， ∴BD=7 2 ．