已知函数f(x)=2ex-ax-2(a∈R)(1)讨论函数的单调性;(2)当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围
已知函数f(x)=2ex-ax-2(a∈R)(1)讨论函数的单调性;(2)当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围....
已知函数f(x)=2ex-ax-2(a∈R)(1)讨论函数的单调性;(2)当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围.
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(Ⅰ)f′(x)=2ex-a.
若a≤0,则f′(x)>0,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;
若a>0,令f′(x)=0得x=ln
,易知
当x∈(-∞,ln
)时,f′(x)<0,∴f(x)在(-∞,ln
)上单调递减;
当x∈(ln
,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在[ln
,+∞)上单调递增;
综上,a≤0时,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;a>0时,f(x)在(-∞,ln
)上单调递减,在ln
,+∞)上单调递增.
(Ⅱ)注意到f(0)=0.
(1)当a≤0时,则当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增,只需f(x)min=f(0)=0,显然成立.
(2)当a>0时
若ln
≤0,即0<a≤2,则当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增,f(x)≥f(0)=0,符合题意.
若ln
>0,即a>2,则当x∈(0,ln
)时,f(x)单调递减,又因为f(0)=0,所以此时f(x)<0,不合题意.
综上所述,a的取值范围是(-∞,2].
若a≤0,则f′(x)>0,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;
若a>0,令f′(x)=0得x=ln
a |
2 |
当x∈(-∞,ln
a |
2 |
a |
2 |
当x∈(ln
a |
2 |
a |
2 |
综上,a≤0时,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;a>0时,f(x)在(-∞,ln
a |
2 |
a |
2 |
(Ⅱ)注意到f(0)=0.
(1)当a≤0时,则当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增,只需f(x)min=f(0)=0,显然成立.
(2)当a>0时
若ln
a |
2 |
若ln
a |
2 |
a |
2 |
综上所述,a的取值范围是(-∞,2].
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