Question

已知二次函数 的图象经过点A(3，0)，B(2，-3)，C(0，-3)． (1)求此函数的解析式及图象的对称轴；(2)点P

已知二次函数 的图象经过点A(3，0)，B(2，-3)，C(0，-3)． (1)求此函数的解析式及图象的对称轴；(2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．①当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；②设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值．





Answer 1

（1） ，所以对称轴为x=1 （2） ①t=5秒时，四边形ABPQ为等腰梯形 ②当t=20秒时，面积S有最小值3

解：(1)∵二次函数 的图象经过点C(0，-3)， ∴c =-3． 将点A(3，0)，B(2，-3)代入 得 解得：a=1，b=-2． ∴ ．-------------------2分 配方得： ，所以对称轴为x=1．-------------------3分 (2) 由题意可知：BP= OQ=0.1t． ∵点B，点C的纵坐标相等， ∴BC∥OA． 过点B，点P作BD⊥OA，PE⊥OA，垂足分别为D，E． 要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ=AB． 即QE=AD=1． 又QE=OE－OQ=(2-0.1t)-0.1t=2-0.2t， ∴2-0.2t=1． 解得t=5． 即t=5秒时，四边形ABPQ为等腰梯形．-------------------6分 ②设对称轴与BC，x轴的交点分别为F，G． ∵对称轴x=1是线段BC的垂直平分线， ∴BF=CF=OG=1． 又∵BP=OQ， ∴PF=QG． 又∵∠PMF=∠QMG， ∴△MFP≌△MGQ． ∴MF=MG． ∴点M为FG的中点     -------------------8分 ∴S= ， = ． 由 = ． ． ∴S= ．-------------------10分 又BC=2，OA=3， ∴点P运动到点C时停止运动，需要20秒． ∴0<t≤20． ∴当t=20秒时，面积S有最小值3．------------------11分