Question

如图，已知AB是圆O的直径，BC是圆O的弦，弦ED⊥AB于点F,交BC于点G，过点C作圆O的切线与ED的延长线交于点P

如图，已知AB是圆O的直径，BC是圆O的弦，弦ED⊥AB于点F,交BC于点G，过点C作圆O的切线与ED的延长线交于点P． （1）求证：PC＝PG；（2）点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若点G是BC的中点，试探究CG、BF、BO三者之间的数量关系，并写出证明过程；（3）在满足（2）的条件下，已知圆为O的半径为5,若点O到BC的距离为 时，求弦ED的长．

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Answer 1

解：（1）证明：如图，连接OC， ∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC。∴∠OCG+∠PCG=90°。 ∵ED⊥AB，∴∠B+∠BGF=90°。 ∵OB=OC，∴∠B=∠OCG。∴∠PCG=∠BGF。 又∵∠BGF=∠PGC，∴∠PGC=∠PCG。 ∴PC=PG。 （2）CG、BF、BO三者之间的数量关系为CG 2 =BO?BF。理由如下： 如图，连接OG， ∵点G是BC的中点，∴OG⊥BC，BG=CG。∴∠OGB=90°。 ∵∠OBG=∠GBF，∴Rt△BOG∽Rt△BGF。∴BG：BF=BO：BG。 ∴BG 2 =BO?BF。∴CG 2 =BO?BF。 （3）如图，连接OE， 由（2）得BG⊥BC，∴OG= 。 在Rt△OBG中，OB=5，∴ 。 由（2）得BG 2 =BO?BF，∴ 。∴OF=1。 在Rt△OEF中， 。 ∵AB⊥ED，∴EF=DF。 ∴DE=2EF= 。

试题分析：（1）连接OC，根据切线的性质得OC⊥PC，则∠OCG+∠PCG=90°，由ED⊥AB得∠B+∠BGF=90°，而∠B=∠OCG，所以∠PCG=∠BGF，根据对顶角相等得∠BGF=∠PGC，于是∠PGC=∠PCG，所以PC=PG。 （2）连接OG，由点G是BC的中点，根据垂径定理的推论得OG⊥BC，BG=CG，易证得Rt△BOG∽Rt△BGF，则BG：BF=BO：BG，即BG2=BO?BF，把BG用CG代换得到CG 2 =BO?BF。 （3）连接OE，OG=OG= ，在Rt△OBG中，利用勾股定理计算出BG=2 ，再利用BG2=BO?BF可计算出BF，从而得到OF=1，在Rt△OEF中，根据勾股定理计算出EF=2 ，由于AB⊥ED，根据垂径定理可得EF=DF，于是有DE=2EF=4 。