Question

如图，∠CAB=∠ABD=90°，AB=AC+BD，AD交BC于P，作⊙P与AB相切．试问：以AB为直径作出的⊙O与⊙P的位置关

如图，∠CAB=∠ABD=90°，AB=AC+BD，AD交BC于P，作⊙P与AB相切．试问：以AB为直径作出的⊙O与⊙P的位置关系怎样？请作出判断并加以证明．

Answer 1

解：⊙O与⊙P相内切．
理由：如图：若AB与⊙P切于Q，连接PQ，
∴PQ⊥AB，
设PQ=r，AC=a，BD=b，
∵∠CAB=∠ABD=90°，
∴AC∥DB，
∴△BPQ∽△BCA，△APQ∽△ADB，
∴

r

a

=

BQ

AB

，

r

b

=

AQ

AB

，
∴

a?r

a

=

r

b

，
∴r=

ab

a+b

，
∵⊙O的半径R=

a+b

2

，
∴Rr=

ab

2

，
∴AQ=

r?AB

b

=

2Rr

b

=a，
∴OQ=

a+b

2

-a=

b?a

2

，
连接PO
则PO=

( ab a+b )2+( b?a 2 )2

=

a2+b2

2(a+b)

=

a+b

2

-

ab

a+b

=R-r．
∴⊙O与⊙P相内切．