已知函数f(x)＝alnx+1x(a＞0)．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）已知对任意的x＞0，ax（2-lnx
已知函数f(x)＝alnx+1x(a＞0)．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）已知对任意的x＞0，ax（2-lnx）≤1恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）是否存...
已知函数f(x)＝alnx+1x(a＞0)．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）已知对任意的x＞0，ax（2-lnx）≤1恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）是否存在实数a使得函数f（x）在[1，e]上最小值为0？若存在，试求出a的值；若不存在，请说明理由．
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（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）
求导函数可得f′(x)＝
?
＝
由f′（x）＞0，可得x＞
；由f′（x）＜0，可得0＜x＜
∴函数f（x）的单调增区间为(
，+∞)，单调减区间为(0，
)
当x＝
时，函数取得极小值为f(
)＝?alna+a；
（Ⅱ）已知对任意的x＞0，ax（2-lnx）≤1恒成立，则
①2-lnx＞0时，a≤
恒成立
令g(x)＝
，
∴g′(x)＝
当lnx＜1时，g′（x）＜0，当1＜lnx＜2时，g′（x）＞0，
∴lnx=1时，即x=e时，函数取得最小值为g(e)＝
∴a≤
②2-lnx＜0时，a≥
恒成立
令g(x)＝
，
∴g′(x)＝
当2-lnx＜0时，g′（x）＞0，
∴函数在（e2，+∞）上单调增，函数无最大值，故此时a≥
不恒成立；
∴实数a的取值范围是(?∞，
]；
（Ⅲ）不存在a，使得函数f（x）在[1，e]上最小值为0
由（Ⅰ）知函数f（x）的单调增区间为(
，+∞)，单调减区间为(0，
)
若1≤
≤e，即
≤a≤1，则函数f（x）在[1，e]上最小值为f(
)＝?alna+a=0，
∴a=e，不满足题意
若0＜
求导函数可得f′(x)＝
| a |
| x |
| 1 |
| x2 |
| ax?1 |
| x2 |
由f′（x）＞0，可得x＞
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
∴函数f（x）的单调增区间为(
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
当x＝
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
（Ⅱ）已知对任意的x＞0，ax（2-lnx）≤1恒成立，则
①2-lnx＞0时，a≤
| 1 |
| x(2?lnx) |
令g(x)＝
| 1 |
| x(2?lnx) |
∴g′(x)＝
| lnx?1 |
| [x(2?lnx)]2 |
当lnx＜1时，g′（x）＜0，当1＜lnx＜2时，g′（x）＞0，
∴lnx=1时，即x=e时，函数取得最小值为g(e)＝
| 1 |
| e |
∴a≤
| 1 |
| e |
②2-lnx＜0时，a≥
| 1 |
| x(2?lnx) |
令g(x)＝
| 1 |
| x(2?lnx) |
∴g′(x)＝
| lnx?1 |
| [x(2?lnx)]2 |
当2-lnx＜0时，g′（x）＞0，
∴函数在（e2，+∞）上单调增，函数无最大值，故此时a≥
| 1 |
| x(2?lnx) |
∴实数a的取值范围是(?∞，
| 1 |
| e |
（Ⅲ）不存在a，使得函数f（x）在[1，e]上最小值为0
由（Ⅰ）知函数f（x）的单调增区间为(
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
若1≤
| 1 |
| a |
| 1 |
| e |
| 1 |
| a |
∴a=e，不满足题意
若0＜
