已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=nan-2n(n-1).(Ⅰ)求证:数列{an}为等差数列,并求出an的表达

已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=nan-2n(n-1).(Ⅰ)求证:数列{an}为等差数列,并求出an的表达式;(Ⅱ)设数列{1an?an+1}的前n项... 已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=nan-2n(n-1).(Ⅰ)求证:数列{an}为等差数列,并求出an的表达式;(Ⅱ)设数列{1an?an+1}的前n项和Tn,试求Tn的取值范围. 展开
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(Ι)由Sn=nan-2n(n-1),得an+1=Sn+1-Sn=(n+1)an+1-nan-4n,
∴an+1-an=4,
即{an}是以1为首项,公差为4的等差数列.
∴an=4n-3.
(Ⅱ)∵
1
an?an+1
=
1
(4n?3)(4n+1)
1
4
(
1
4n?3
?
1
4n+1)
)

∴Tn=
1
1×5
+
1
5×9
+???+
1
(4n?3)(4n+1)
1
4
(1?
1
5
+
1
5
?
1
9
+???+
1
4n?3
?
1
4n+1
)
=
1
4
(1?
1
4n+1
)=
n
4n+1
1
4

又易知Tn单调递增的,故TnT1
1
5

1
5
Tn
1
4

即Tn的范围是[
1
5
1
4
).
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