已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=nan-2n(n-1).(Ⅰ)求证:数列{an}为等差数列,并求出an的表达
已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=nan-2n(n-1).(Ⅰ)求证:数列{an}为等差数列,并求出an的表达式;(Ⅱ)设数列{1an?an+1}的前n项...
已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=nan-2n(n-1).(Ⅰ)求证:数列{an}为等差数列,并求出an的表达式;(Ⅱ)设数列{1an?an+1}的前n项和Tn,试求Tn的取值范围.
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(Ι)由Sn=nan-2n(n-1),得an+1=Sn+1-Sn=(n+1)an+1-nan-4n,
∴an+1-an=4,
即{an}是以1为首项,公差为4的等差数列.
∴an=4n-3.
(Ⅱ)∵
=
=
(
?
),
∴Tn=
+
+???+
=
(1?
+
?
+???+
?
)=
(1?
)=
<
,
又易知Tn单调递增的,故Tn≥T1=
,
∴
≤Tn<
,
即Tn的范围是[
,
).
∴an+1-an=4,
即{an}是以1为首项,公差为4的等差数列.
∴an=4n-3.
(Ⅱ)∵
1 |
an?an+1 |
1 |
(4n?3)(4n+1) |
1 |
4 |
1 |
4n?3 |
1 |
4n+1) |
∴Tn=
1 |
1×5 |
1 |
5×9 |
1 |
(4n?3)(4n+1) |
1 |
4 |
1 |
5 |
1 |
5 |
1 |
9 |
1 |
4n?3 |
1 |
4n+1 |
1 |
4 |
1 |
4n+1 |
n |
4n+1 |
1 |
4 |
又易知Tn单调递增的,故Tn≥T1=
1 |
5 |
∴
1 |
5 |
1 |
4 |
即Tn的范围是[
1 |
5 |
1 |
4 |
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