Question

复变函数 zsin(1/z) 当z趋向于0时 有极限0 按照定理0应该为该函数的可去极点，将其展成级数，有无穷负次项

0是它的可去极点还是本性极点。

Answer 1

zsin(1/z)在复变的中的极限不是0，证明如下
设z=x+yi
2、z按x=0,y→0方向趋于0有

lim <z→0> zsin(1/z)
=lim <y→0>yisin(1/(yi))
=lim <y→0>yi*(e^(1/y)-e^(-1/y))/2
算一下是不存在的。

就是说，不是可去极点

Answer 2

z=0是函数的奇点，所以，0＜|z|＜∞时，函数可以展开为：
Zsin〖1/z〗=∑_0∝〖[(-1)＾k〗]/(2k+1)![(1/z)＾2k],不好意思，补充一下，前面那个是从0到∞的和。由式子我们可以看出，展开式所有项都是z的负整数次，根据本性奇点的定义，它属于本性奇点。
极点的情况是这样定义的：若其洛朗级数没有负幂项，则称为可去奇点，若有有限个负幂项，则称为极点，若有无限个负幂项，则称为本性奇点
只能说，如果是可去奇点，则在其邻域是有界的，但不能说有界的，其对应的点一定是可去的

Answer 3

z=0是函数的奇点，所以，0＜|z|＜∞时，函数可以展开为：
Zsin〖1/z〗=∑_0∝〖[(-1)＾k〗]/(2k+1)![(1/z)＾2k],不好意思，补充一下，前面那个是从0到∞的和