Question

“开普勒第二定律——面积定律”是错误的及证明

Answer 1

以前的时候也没怀疑过开普勒第二定律，学习开普勒第二定律的时候，看到行星在近日点的时候到太阳的距离短，扫过的宽度宽；行星在远日点的时候到太阳的距离长，扫过的宽度窄，想“虽然行星在近日点的时候到太阳的距离短，但行星速度快呀，扫过的面积宽呀，这样相等的时间内，在近日点扫过的面积与在远日点扫过的面积刚好相等。”

后来计算了一下，发现开普勒第二定律是有问题的。

开普勒第二定律，也称面积定律，表述如下：

在相等时间内，太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积都是相等的。

相关计算如下：

设行星A围绕太阳公转，在近日点的公转速度是v1米/秒,近日点到太阳的距离是r1米，行星在近日点公转了1秒，与太阳的连线扫过的面积是s1平方米。在远日点的公转速度是v2 米/秒,远日点到太阳的距离是r2米，行星在远日点公转了1秒，与太阳的连线扫过的面积是s2平方米。用t表示时间，即t=1秒。

以r1为半径，以太阳为中心画圆，得到一个圆，这个圆有周长，行星A处在近日点的位置在1秒内运行的距离是这个周长的几分之几，那行星A处在近日点的位置在1秒内扫过的面积就是这个圆面积的几分之几。

在远日点的情况，道理同上。

s1=［（v1·t）/（2π·r1）］·（π·r1^2）

=1/2·t·v1·r1

s2=［（v2·t）/（2π·r2）］·（π·r2^2）

=1/2·t·v2·r2

s1/s2 = （1/2·t·v1·r1）/（1/2·t·v1·r1）

s1/s2 = （v1·r1）/（v2·r2）

s1/s2=（v1/v2）·（r1/r2）①

设 r2/r1 =n

由定律“围绕太阳公转的所有行星，其公转速度的平方与其到太阳的距离的乘积是一个常量”（这个定律由开普勒第三定律通过严谨推导得来并已用相关数据验证、证明，本质上和开普勒第三定律是一致的。）得出

v^2·r = 常量

（用v表示公转速度，r表示行星到太阳的距离）

即v1^2 ·r1 = v2^2 ·r2

v1^2/v2^2 = r2/r1

又 r2/r1 = n

所以v1^2/v2^2 =n

（v1/v2）^2 = n

v1/v2 = n ②

将②式代入①式得

s1/s2= n ·（r1/r2）③

r2/r1 = n，

r1/r2=1/ n ④

将④代入③式得

s1/s2=1/ n

s2= n ·s1

所以，可以得出一个新的定律：

行星围绕太阳公转，相等的1秒钟的时间内，行星与太阳的连线所扫过的面积之比是行星到太阳距离之比的平方根。

（这个定律在忽略质量差别的情况下，对于太阳系内不同的两颗行星同样适用。）

即行星围绕太阳公转，在甲点时到太阳的距离是在乙点时到太阳距离的n倍，则在1秒内，行星在甲点时与太阳的连线所扫过的面积是行星在乙点时与太阳连线所扫过面积的 n 倍。

说明：为什么强调“相等的时间是1秒钟”，因为如果行星在甲点的运行时间过长，比如10秒、30分钟等，行星在甲点到太阳的距离就会发生变化，同样，行星在乙点时与太阳的距离也会发生变化，两者扫过的面积就无法通过“与太阳的距离”建立关联。

在“相等的1秒时间内”，行星在公转时到太阳的距离变化很小，可以看成是不变的。

如果行星在公转时，以甲、乙两点为起点，运行“相等的时间”，这相等的时间超过了1秒钟，比如，行星以甲点为起点运行了10分钟，以乙点为起点运行了10分钟，10分钟等于600秒，那么就将两者扫过的面积各分成600份，分别计算就好。

也就是说凡是“相等的时间”超过了1秒钟，“相等的时间”换算成秒后，是多少秒，就将两者扫过的面积都平均分成多少份，然后分别计算。

也许这样稍微麻烦了一点，但是精确。因为行星在围绕太阳公转的时候，有时候加速，有时候减速，有时候是在远离太阳，有时候是在靠近太阳。如行星围绕太阳公转，从甲点出发（甲点到太阳的距离是s甲），运行5分钟后刚好到达远日点，又运行5分钟后到达丙点（丙点到太阳的距离是s丙），行星从乙点（乙点刚好位于近日点和远日点的中间位置，到太阳的距离是s乙）出发，向远日点方向运动，运行10分钟后到达丁点（丁点到太阳的距离是s丁）。那么行星从乙点出发到丁点的过程中，是在一点点远离太阳；行星从甲点到丙点的过程中，先远离太阳，再靠近太阳。所以如果 “ s甲”是“s乙”的n倍的话，那么“s丙”一定不是“s丁”的n倍。

所以在计算“行星围绕太阳公转，行星与太阳的连线在相等的时间扫过的面积之比”时，需要特别注意。

总结：

开普勒第二定律更新如下：

行星围绕太阳公转，相等的1秒钟的时间内，行星与太阳的连线所扫过的面积之比是行星到太阳距离之比的平方根。

（在忽略质量差别的情况下，对太阳系内不同的两颗行星同样适用。）