Question

高中数学数列通项公式的求法

Answer 1

　　数列通项公式是高中数学的重点与难点，那么数列通项公式的有什么求解方法呢?下面由我告诉你答案。
　　高中数学数列通项公式的求法总结
　　一、一阶线性递推数列求通项问题

　　一阶线性递推数列主要有如下几种形式：

　　1.

　　这类递推数列可通过累加法而求得其通项公式(数列{f(n)}可求前n项和).

　　当

　　为常数时，通过累加法可求得等差数列的通项公式.而当

　　为等差数列时，则

　　为二阶等差数列，其通项公式应当为

　　形式，注意与等差数列求和公式一般形式的区别，后者是

　　，其常数项一定为0. 2.

　　这类递推数列可通过累乘法而求得其通项公式(数列{g(n)}可求前n项积).

　　当

　　为常数时，用累乘法可求得等比数列的通项公式. 3.

　　; 这类数列通常可转化为

　　，或消去常数转化为二阶递推式

　　. 例1已知数列

　　中，

　　,求

　　的通项公式. 解析：解法一：转化为

　　型递推数列. ∵

　　∴

　　又

　　，故数列{

　　｝是首项为2，公比为2的等比数列.∴

　　，即

　　. 解法二：转化为

　　型递推数列. ∵

　　=2xn-1+1(n≥2)　　①　　∴

　　=2xn+1　　② ②-①，得

　　(n≥2)，故{

　　｝是首项为x2-x1=2，公比为2的等比数列，即

　　，再用累加法得

　　.

　　解法三：用迭代法.

　　当然,此题也可用归纳猜想法求之，但要用数学归纳法证明. 例2　已知函数

　　的反函数为

　　求数列

　　的通项公式. 解析：由已知得

　　，则

　　. 令

　　=,则

　　.比较系数，得

　　. 即有

　　.∴数列{

　　｝是以

　　为首项，

　　为公比的等比数列，∴

　　，故

　　.

　　评析：此题亦可采用归纳猜想得出通项公式，而后用数学归纳法证明之.

　　(4)

　　若取倒数,得

　　，令

　　，从而转化为(1)型而求之. (5)

　　; 这类数列可变换成

　　，令

　　，则转化为(1)型一阶线性递推公式. 例3　设数列

　　求数列

　　的通项公式. 解析：∵

　　，两边同除以

　　，得

　　.令

　　，则有

　　.于是，得

　　，∴数列

　　是以首项为

　　，公比为

　　的等比数列，故

　　，即

　　，从而

　　. 例4　设

　　求数列

　　的通项公式. 解析：设

　　用

　　代入，可解出

　　. ∴

　　是以公比为-2，首项为

　　的等比数列. ∴

　　，即

　　. (6)

　　这类数列可取对数得

　　，从而转化为等差数列型递推数列.

　　二、可转化为等差、等比数列或一些特殊数列的二阶递推数列

　　例5　设数列

　　求数列

　　的通项公式. 解析：由

　　可得

　　设

　　故

　　即

　　用累加法得

　　或

　　例6　在数列

　　求数列

　　的通项公式.

　　解析：可用换元法将其转化为一阶线性递推数列.

　　令

　　使数列

　　是以

　　为公比的等比数列(

　　待定). 即

　　∴

　　对照已给递推式， 有

　　即

　　的两个实根. 从而

　　∴

　　① 或

　　② 由式①得

　　;由式②得

　　. 消去

　　. 例7　在数列

　　求

　　. 解析：由

　　①，得

　　②. 式②+式①，得

　　，从而有

　　.∴数列

　　是以6为其周期.故

　　=

　　=-1.

　　三、特殊的n阶递推数列

　　例8　已知数列

　　满足

　　，求

　　的通项公式. 解析：∵

　　① ∴

　　② ②-①，得

　　.∴

　　故有

　　将这几个式子累乘，得

　　又

　　例9　数列{

　　｝满足

　　，求数列{

　　｝的同项公式. 解析：由

　　①，得

　　②. 式①-式②，得

　　，或

　　，故有

　　. ∴

　　,

　　. 将上面几个式子累乘，得

　　，即

　　. ∵

　　也满足上式，∴
　　.高中数学常见数列通项公式
　　累加法

　　递推公式为a(n+1)=an+f(n)，且f(n)可以求和

　　例：数列{an}，满足a1=1/2，a(n+1)=an+1/(4n^2-1)，求{an}通项公式

　　解：a(n+1)=an+1/(4n^2-1)=an+[1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2

　　∴an=a1+(1-1/3+1/3-1/5+……+1/(2n-3)-1/(2n-1))

　　∴an=1/2+1/2 (1-1/(2n-1))=(4n-3)/(4n-2)

　　累乘法

　　递推公式为a(n+1)/an=f(n),且f(n)可求积

　　例：数列{an}满足a(n+1)=(n+2)/n an，且a1=4，求an

　　解：an/a1=an/a(n-1)×a(n-1)/a(n-2)×……×a2/a1=2n(n+1)

　　构造法

　　将非等差数列、等比数列，转换成相关的等差等比数列

　　连加相减，连乘相除

　　例：{an}满足a1+2a2+3a3+……+nan=n(n+1)(n+2)

　　解：令bn=a1+2a2+3a3+……+nan=n(n+1)(n+2)

　　nan=bn-b(n-1)=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)