一个数除以7余1，除以11余2，除以13余3，那么这个数是多少？
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答案是211
根据题意可知这个数不等于1，且大于7，所以根据这个数除以7余1，可以设为(7n+1)。
(7n+1)除以11余2，即(7n-1)能被11整除，n最小为8，此时7n+1=56+1=57。
7和11的最小公倍数为77，所以可以设这个数为(77n+57)。
(77n+57)除以13余3，所以(77n+54)能被13整除。
77÷13=5……12，54÷13=4……2，所以(12n+2)能被13整除，可知n最小为2。
77n+57=211，这个数最小为211
根据题意可知这个数不等于1，且大于7，所以根据这个数除以7余1，可以设为(7n+1)。
(7n+1)除以11余2，即(7n-1)能被11整除，n最小为8，此时7n+1=56+1=57。
7和11的最小公倍数为77，所以可以设这个数为(77n+57)。
(77n+57)除以13余3，所以(77n+54)能被13整除。
77÷13=5……12，54÷13=4……2，所以(12n+2)能被13整除，可知n最小为2。
77n+57=211，这个数最小为211
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除13余3的有16 29 42 55 68 其中 68满足除11余2，但不能满足除7余1因此从除13余3的数继续往上找，81 94 107 120 133 146 159 183196 211只有211满足除11余2但仍然不能满足除7余1，再往后推223 236 249 262 275 288 301 314 327 340 353可以满足除11余2
可列式子 13m＋3＝11n＋2
从上面可知 m＝5 n＝6
m＝16 n＝19
m以11的倍数往上增 n以13的倍数往上增
可知
以后有 m＝27 n＝32
m＝38 n＝45
m＝49 n＝58
m＝60 n＝71
m＝71 n＝84等结果
直到m＝93 n＝110
结果是1212 才满足除以7余1
可列式子 13m＋3＝11n＋2
从上面可知 m＝5 n＝6
m＝16 n＝19
m以11的倍数往上增 n以13的倍数往上增
可知
以后有 m＝27 n＝32
m＝38 n＝45
m＝49 n＝58
m＝60 n＝71
m＝71 n＝84等结果
直到m＝93 n＝110
结果是1212 才满足除以7余1
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这个数是211
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余数
在除法中,当出现被除数÷除数=商…余数(除数不为0)时,就表示平均分之后还有剩余,这就是有余数的除法。
余数与除数、被除数之间的关系主要有以下几点:
(1)余数一定比除数小,最大的余数比除数小1,最小的余数是1。
(2)当商和除数不变时,余数越大,被除数就越大;余数越小,被除数就越小。
(3)在除法算式中,商是几,就说明被除数是除数的几倍;商几余几,就说明被除数是除数的几倍多几。
利用有余数的除法以及各种量之间的关系,能帮助我们解决许多实际问题,比如平均分问题、周期问题等。
遇到平均分问题,首先要从总数里减去多出的部分,使其能够除尽,从而得出答案。
遇到周期问题,首先要分析总结出一个周期数,利用“总数÷一个周期数=几个周期…还剩下几个”的计算方法,得出剩下的个数。
余数是1,和周期中的第一个一样;余数是2,和周期中的第二个一样…以此类推,如果正好整除,就和周期中的最后一个一样。
【例1】下面的算式中,被除数最大是几?最小是几?
□÷7=5……□
【思路导航】从算式可知,除数是7,商是5,因为余数要比除数小,所以余数只能是1,2,3,4,5,6。
根据“被除数=除数×商+余数”,余数最小为1,最大为6。所以被除数最大是7×5+6=41,最小是7×5+1=36。
答:被除数最大是41,最小是36。
【例2】一个数除以5余3,除以7也余3,这个数最小是几?
【思路导航】可以先找出5和7共同的倍数,然后加3就是所求的数。
5的倍数有5,10,15,20,25,30,35,…7的倍数有7,14,21,28,35,…它们共同的倍数最小的是35,35+3=38。
答:这个数最小是38。
【例3】不相同的两个两位数,它们的和除以3余数是2,它们的差除以3余数是0,这两个数的和最小是几?
【思路导航】假设两个数分别是a和b。两个数的差除以3余数是0,即(a-b)÷3余数为0,说明这两个数分别除以3,余数是相等的;两个数的和除以3余数是2,即(a+b)÷3余数为2,说明这两个数分别除以3,余数都为1。
解:3×3+1=10，3×4+1=13，10+13=23
答:这两个数的和最小是23。
【例4】在计算一道除法算式时,将除数9看成6,算出商是9,余数是5,正确的商和余数分别是多少?
【思路导航】先将看错的算式算出来,被除数=6×9+5=59,59就是这道除法算式的被除数,那么正确的算式应为59÷9,商为6,余数为5。
解:6×9+5=59，59÷9=6……5
答:正确的商是6,余数是5。
【例5】老师拿出18支铅笔,每人分4支,还剩2支,老师将铅笔分给了几个小朋友？
【思路导航】18支铅笔最后剩2支,说明有16支铅笔分给了小朋友。16支铅笔,每人分4支,分给了16÷4=4(个)小朋友。
解:18-2=16(支)16÷4=4(个)
答:老师将铅笔分给了4个小朋友。
【例6】有28颗草莓,至少拿走几颗,才使6个小朋友分得一样多?每个小朋友分几个?
【思路导航】28颗草莓至少拿走几颗,使6个小朋友分得一样多,也就是28颗草莓平均分给6个小朋友后,剩下多少颗。
解:28÷6=4(颗)……4(颗)
答:至少拿走4颗,每个小朋友分4颗。
【例7】有一盒糖果,总数不超过60颗,把这些糖果平均分给8个人,最后还剩2颗。这盒糖果有多少颗?
【思路导航】平均分给8个人,之后剩余2颗,有多种情况可以考虑。
解:若每人1颗,这盒糖果有8×1+2=10(颗)
若每人2颗,这盒糖果有8×2+2=18(颗)
若每人3颗,这盒糖果有8×3+2=26(颗)
若每人4颗,这盒糖果有8×4+2=34(颗)
若每人5颗,这盒糖果有8×5+2=42(颗)
若每人6颗,这盒糖果有8×6+2=50(颗)
若每人7颗,这盒糖果有8×7+2=58(颗)
答:这盒糖果的数量可以是10颗,18颗,26颗,34颗,42颗,50颗,58颗。
【例8】按照规律继续画下去,第37个应该画什么?
○■△☆○■△☆○■
【思路导航】有四种图形,○、■、△、☆,每种图形循环出现一次,四个图形后又重新开始,即四个图形为一个周期。
先算出37个图形里有几个完整的周期,还剩几个,再根据剩下的个数找出第37个图形是什么。
37-4=9(个)周期…1(个),就是说37个图形中有9个完整的周期,还剩下1个图形,剩下的一定是○,所以第37个应该画○。
解:37÷4=9…1,第37个应该画○。
【例9】列数字是按1,4,3,5,7,6,1,4,3,5,7,6,1,4,3,5,7,6,…这样的顺序排列的,第47个数字是几?
【思路导航】六个数字1,4,3,5,7,6按顺序循环出现,六个数后又重新开始,即六个数为一个周期。
先算出47个数字中有几个完整的周期,还剩几个,再根据剩下的个数找出第47个数是几。
47÷6=7(个)周期……5(个)。
就是说47个数字中有7个完整的周期,还剩下5个数,剩下的就是1,4,3,5,7,所以第47个数是7。
解:47÷6=7……5,第47个数字是7。
【例10】一座大楼上的彩灯按红、黄、蓝、绿、粉、紫的顺序依次组装,一共有57个彩灯。
想一想,第20个彩灯是什么颜色的?最后一个彩灯是什么颜色的？
【思路导航】将红、黄、蓝、绿、粉、紫六种颜色的彩灯作为一个周期,这样的周期重复出现,先求20个彩灯共有几个周期,还剩几个,再根据剩下的找出答案。20÷6=3(个)周期…2(个),即第20个彩灯是黄色的。
同样的道理,57÷6=9(个)周期……3(个),最后一个彩灯是周期内的第三个,即蓝色。
解:20÷6=3……2,第20个彩灯是黄色。
57÷6=9……3,最后一个彩灯是蓝色。
【例11】同样大小的红、黄、蓝三种小球共180个,按4红、2黄、3蓝的顺序排列。三种颜色的小球各有多少个?
【思路导航】一个周期为4红+2黄+3蓝=9，只要算出180个小球共有多少个周期，就能分别求出各种小球的个数了。
以蓝色球为例，180个小球中共有180-9=20(个)周期，每个周期有3个蓝色球，共有3×20=60(个)蓝色球。
以同样的思路可求出另外两种小球的个数。
解：周期数：180÷9=20(个)
红色小球：4×20=80(个)
黄色小球：2×20=40(个)
蓝色小球：3×20=60(个)
答：红色小球80个，黄色小球40个，蓝色小球60个。
【例12】如果今天是星期三,那么再过78天是星期几?
【思路导航】一星期有7天,如果今天是星期三,那么再过7天还是星期三,再过两个7天还是星期三……求再过78天是星期几,要先求出78天里有几个完整的周期,然后再根据余数确定还要过几天。余数为1,就在星期三后再过1天;余数为2,就在星期三后再过2天……如果没有余数,那还是星期三。
解:78÷7=11……1,再过78天是星期四。
【例13】4×4×4×……×4×4×4,50个4相乘,积的个位数字是几?
【思路导航】如果算出50个4相乘的积显然很麻烦,我们不妨换个思路,看看不同个数的4相乘,积的个位数字有没有什么排列规律:4=4,4×4=16,4×4×4=64,4×4×4×4=256,4×4×4×4×4=1024……画成表格如下:
4的个数：1、2、3、4、5、6、7、8……积的个位数字：4、6、4、6、4、6、4、6……我们发现积的个位数字以“4,6”为一个周期循环出现。
解:积的个位数字以“4,6”为一个周期循环出现,50÷2=25,所以50个4相乘,积的个位数字是6。
答:积的个位数字是6。
【例14】8个小朋友围成一圈玩传球游戏,从①号开始,按箭头方向向下一个人传球,在传球的同时,按顺序报数,当报到107时,球在几号小朋友手里?
【思路导航】8个小朋友依次传球,不断循环,可以将8个小朋友看作一个周期,看107里面有几个完整的周期,剩下几个小朋友,107÷8=13(个)周期……3(个),余数为3,那么报107时,球应该在第14个周期的第3个小朋友手里。
解:107÷8=13……3,当报到107时,球在③号小朋友手里。
【例15】A、B、C、D、E五个盒子中依次放有10个、6个、4个、3个、2个小球。
第一个小朋友找到放球最少的盒子,然后从其他盒子中各取一个球放入这个盒子;第二个小朋友也找到放球最少的盒子,然后也从其他盒子中各取一个球放入这个盒子……当第99个小朋友放完后,A、B、C、D、E五个盒子中依次放有几个球?
【思路导航】由右表可知,第8次放后与第3次放后的情况相同,说明从第3次开始,以后每5次情况循环出现。
解:每盒球的个数从第3次放开始,以后每5次情况循环出现。(99-2)÷5=19……2,说明第99次的情况与第2+2=4(次)放后的情况相同,所以A、B、C、D、E五个盒子中依次放有6个、7个、5个4个、3个球。
答:A、B、C、D、E五个盒子中依次放有6个、7个、5个、4个、3个球。
【例16】把1-180各数排成五列(如下表所示)
(1)数字67写在第几行、第几列?
(2)数字99写在第几行、第几列?
【思路导航】解答这道题需要仔细观察图表,确定数字出现的周期。
从表中可知,5个数一行,但是第2行的6并没有从开始写起,第3行的11又从开始写起,所以这些数是10个为一个周期。
用总数除以10,如果余1就在第1列,行数增加1;如果余2就在第2列,行数增加1……如果余5就在第5列,行数增加1;如果余6还在第5列,行数增加2……
解:(1)67÷10=6……7,在第4列;6×2+2=14(行),在第14行。
答:67写在第14行、第4列。
解:(2)99÷10=9……9,在第2列;9×2+2=20(行),在第20行。
答:99写在第20行、第2列。
数学改变科技，向数学出发。
在除法中,当出现被除数÷除数=商…余数(除数不为0)时,就表示平均分之后还有剩余,这就是有余数的除法。
余数与除数、被除数之间的关系主要有以下几点:
(1)余数一定比除数小,最大的余数比除数小1,最小的余数是1。
(2)当商和除数不变时,余数越大,被除数就越大;余数越小,被除数就越小。
(3)在除法算式中,商是几,就说明被除数是除数的几倍;商几余几,就说明被除数是除数的几倍多几。
利用有余数的除法以及各种量之间的关系,能帮助我们解决许多实际问题,比如平均分问题、周期问题等。
遇到平均分问题,首先要从总数里减去多出的部分,使其能够除尽,从而得出答案。
遇到周期问题,首先要分析总结出一个周期数,利用“总数÷一个周期数=几个周期…还剩下几个”的计算方法,得出剩下的个数。
余数是1,和周期中的第一个一样;余数是2,和周期中的第二个一样…以此类推,如果正好整除,就和周期中的最后一个一样。
【例1】下面的算式中,被除数最大是几?最小是几?
□÷7=5……□
【思路导航】从算式可知,除数是7,商是5,因为余数要比除数小,所以余数只能是1,2,3,4,5,6。
根据“被除数=除数×商+余数”,余数最小为1,最大为6。所以被除数最大是7×5+6=41,最小是7×5+1=36。
答:被除数最大是41,最小是36。
【例2】一个数除以5余3,除以7也余3,这个数最小是几?
【思路导航】可以先找出5和7共同的倍数,然后加3就是所求的数。
5的倍数有5,10,15,20,25,30,35,…7的倍数有7,14,21,28,35,…它们共同的倍数最小的是35,35+3=38。
答:这个数最小是38。
【例3】不相同的两个两位数,它们的和除以3余数是2,它们的差除以3余数是0,这两个数的和最小是几?
【思路导航】假设两个数分别是a和b。两个数的差除以3余数是0,即(a-b)÷3余数为0,说明这两个数分别除以3,余数是相等的;两个数的和除以3余数是2,即(a+b)÷3余数为2,说明这两个数分别除以3,余数都为1。
解:3×3+1=10，3×4+1=13，10+13=23
答:这两个数的和最小是23。
【例4】在计算一道除法算式时,将除数9看成6,算出商是9,余数是5,正确的商和余数分别是多少?
【思路导航】先将看错的算式算出来,被除数=6×9+5=59,59就是这道除法算式的被除数,那么正确的算式应为59÷9,商为6,余数为5。
解:6×9+5=59，59÷9=6……5
答:正确的商是6,余数是5。
【例5】老师拿出18支铅笔,每人分4支,还剩2支,老师将铅笔分给了几个小朋友？
【思路导航】18支铅笔最后剩2支,说明有16支铅笔分给了小朋友。16支铅笔,每人分4支,分给了16÷4=4(个)小朋友。
解:18-2=16(支)16÷4=4(个)
答:老师将铅笔分给了4个小朋友。
【例6】有28颗草莓,至少拿走几颗,才使6个小朋友分得一样多?每个小朋友分几个?
【思路导航】28颗草莓至少拿走几颗,使6个小朋友分得一样多,也就是28颗草莓平均分给6个小朋友后,剩下多少颗。
解:28÷6=4(颗)……4(颗)
答:至少拿走4颗,每个小朋友分4颗。
【例7】有一盒糖果,总数不超过60颗,把这些糖果平均分给8个人,最后还剩2颗。这盒糖果有多少颗?
【思路导航】平均分给8个人,之后剩余2颗,有多种情况可以考虑。
解:若每人1颗,这盒糖果有8×1+2=10(颗)
若每人2颗,这盒糖果有8×2+2=18(颗)
若每人3颗,这盒糖果有8×3+2=26(颗)
若每人4颗,这盒糖果有8×4+2=34(颗)
若每人5颗,这盒糖果有8×5+2=42(颗)
若每人6颗,这盒糖果有8×6+2=50(颗)
若每人7颗,这盒糖果有8×7+2=58(颗)
答:这盒糖果的数量可以是10颗,18颗,26颗,34颗,42颗,50颗,58颗。
【例8】按照规律继续画下去,第37个应该画什么?
○■△☆○■△☆○■
【思路导航】有四种图形,○、■、△、☆,每种图形循环出现一次,四个图形后又重新开始,即四个图形为一个周期。
先算出37个图形里有几个完整的周期,还剩几个,再根据剩下的个数找出第37个图形是什么。
37-4=9(个)周期…1(个),就是说37个图形中有9个完整的周期,还剩下1个图形,剩下的一定是○,所以第37个应该画○。
解:37÷4=9…1,第37个应该画○。
【例9】列数字是按1,4,3,5,7,6,1,4,3,5,7,6,1,4,3,5,7,6,…这样的顺序排列的,第47个数字是几?
【思路导航】六个数字1,4,3,5,7,6按顺序循环出现,六个数后又重新开始,即六个数为一个周期。
先算出47个数字中有几个完整的周期,还剩几个,再根据剩下的个数找出第47个数是几。
47÷6=7(个)周期……5(个)。
就是说47个数字中有7个完整的周期,还剩下5个数,剩下的就是1,4,3,5,7,所以第47个数是7。
解:47÷6=7……5,第47个数字是7。
【例10】一座大楼上的彩灯按红、黄、蓝、绿、粉、紫的顺序依次组装,一共有57个彩灯。
想一想,第20个彩灯是什么颜色的?最后一个彩灯是什么颜色的？
【思路导航】将红、黄、蓝、绿、粉、紫六种颜色的彩灯作为一个周期,这样的周期重复出现,先求20个彩灯共有几个周期,还剩几个,再根据剩下的找出答案。20÷6=3(个)周期…2(个),即第20个彩灯是黄色的。
同样的道理,57÷6=9(个)周期……3(个),最后一个彩灯是周期内的第三个,即蓝色。
解:20÷6=3……2,第20个彩灯是黄色。
57÷6=9……3,最后一个彩灯是蓝色。
【例11】同样大小的红、黄、蓝三种小球共180个,按4红、2黄、3蓝的顺序排列。三种颜色的小球各有多少个?
【思路导航】一个周期为4红+2黄+3蓝=9，只要算出180个小球共有多少个周期，就能分别求出各种小球的个数了。
以蓝色球为例，180个小球中共有180-9=20(个)周期，每个周期有3个蓝色球，共有3×20=60(个)蓝色球。
以同样的思路可求出另外两种小球的个数。
解：周期数：180÷9=20(个)
红色小球：4×20=80(个)
黄色小球：2×20=40(个)
蓝色小球：3×20=60(个)
答：红色小球80个，黄色小球40个，蓝色小球60个。
【例12】如果今天是星期三,那么再过78天是星期几?
【思路导航】一星期有7天,如果今天是星期三,那么再过7天还是星期三,再过两个7天还是星期三……求再过78天是星期几,要先求出78天里有几个完整的周期,然后再根据余数确定还要过几天。余数为1,就在星期三后再过1天;余数为2,就在星期三后再过2天……如果没有余数,那还是星期三。
解:78÷7=11……1,再过78天是星期四。
【例13】4×4×4×……×4×4×4,50个4相乘,积的个位数字是几?
【思路导航】如果算出50个4相乘的积显然很麻烦,我们不妨换个思路,看看不同个数的4相乘,积的个位数字有没有什么排列规律:4=4,4×4=16,4×4×4=64,4×4×4×4=256,4×4×4×4×4=1024……画成表格如下:
4的个数：1、2、3、4、5、6、7、8……积的个位数字：4、6、4、6、4、6、4、6……我们发现积的个位数字以“4,6”为一个周期循环出现。
解:积的个位数字以“4,6”为一个周期循环出现,50÷2=25,所以50个4相乘,积的个位数字是6。
答:积的个位数字是6。
【例14】8个小朋友围成一圈玩传球游戏,从①号开始,按箭头方向向下一个人传球,在传球的同时,按顺序报数,当报到107时,球在几号小朋友手里?
【思路导航】8个小朋友依次传球,不断循环,可以将8个小朋友看作一个周期,看107里面有几个完整的周期,剩下几个小朋友,107÷8=13(个)周期……3(个),余数为3,那么报107时,球应该在第14个周期的第3个小朋友手里。
解:107÷8=13……3,当报到107时,球在③号小朋友手里。
【例15】A、B、C、D、E五个盒子中依次放有10个、6个、4个、3个、2个小球。
第一个小朋友找到放球最少的盒子,然后从其他盒子中各取一个球放入这个盒子;第二个小朋友也找到放球最少的盒子,然后也从其他盒子中各取一个球放入这个盒子……当第99个小朋友放完后,A、B、C、D、E五个盒子中依次放有几个球?
【思路导航】由右表可知,第8次放后与第3次放后的情况相同,说明从第3次开始,以后每5次情况循环出现。
解:每盒球的个数从第3次放开始,以后每5次情况循环出现。(99-2)÷5=19……2,说明第99次的情况与第2+2=4(次)放后的情况相同,所以A、B、C、D、E五个盒子中依次放有6个、7个、5个4个、3个球。
答:A、B、C、D、E五个盒子中依次放有6个、7个、5个、4个、3个球。
【例16】把1-180各数排成五列(如下表所示)
(1)数字67写在第几行、第几列?
(2)数字99写在第几行、第几列?
【思路导航】解答这道题需要仔细观察图表,确定数字出现的周期。
从表中可知,5个数一行,但是第2行的6并没有从开始写起,第3行的11又从开始写起,所以这些数是10个为一个周期。
用总数除以10,如果余1就在第1列,行数增加1;如果余2就在第2列,行数增加1……如果余5就在第5列,行数增加1;如果余6还在第5列,行数增加2……
解:(1)67÷10=6……7,在第4列;6×2+2=14(行),在第14行。
答:67写在第14行、第4列。
解:(2)99÷10=9……9,在第2列;9×2+2=20(行),在第20行。
答:99写在第20行、第2列。
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