Question

已知：a 4 +b 4 +c 4 +d 4 =4abcd，且a，b，c，d都是正数，求证：a=b=c=d．

Answer 1

证明：由已知可得：a 4 +b 4 +c 4 +d 4 -4abcd=0，
（a 2 -b 2 ） 2 +（c 2 -d 2 ） 2 +2a 2 b 2 +2c 2 d 2 -4abcd=0，
所以（a 2 -b 2 ） 2 +（c 2 -d 2 ） 2 +2（ab-cd） 2 =0．
因为（a 2 -b 2 ） 2 ≥0，（c2-d2）2≥0，（ab-cd）2≥0，
所以a 2 -b 2 =c 2 -d 2 =ab-cd=0，
所以（a+b）（a-b）=（c+d）（c-d）=0．
又因为a，b，c，d都为正数，
所以a+b≠0，c+d≠0，
所以a=b，c=d．
所以ab-cd=a 2 -c 2 =（a+c）（a-c）=0，
所以a=c，
故a=b=c=d成立．