设函数f(x)在[a,b]连续,(a,b)内可导,且f(a)f(b)>0,f(a)f[(a+b)/2]
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构造函数g(x)=f(x)*exp(-Kx)
因为f(x)在区间(a,(a+b)/2)、((a+b)/2,b)各存在一个零点,所以g(x)在区间(a,(a+b)/2)、((a+b)/2,b)各存在一个零点,设为x1,x2,则f(x1)=f(x2)
根据罗尔中值定理：
(x1,x2)存在一点ξ使得g'(ξ)=0
即f'(ξ)*exp(-Kξ)-f(ξ)*k*exp(-Kξ)=0,即f'(ξ)-k*f(ξ)=0
所以对于任意实数k,至少存在一点ξ∈(a,b),使等式f'(ξ)/f(ξ)=K成立
因为f(x)在区间(a,(a+b)/2)、((a+b)/2,b)各存在一个零点,所以g(x)在区间(a,(a+b)/2)、((a+b)/2,b)各存在一个零点,设为x1,x2,则f(x1)=f(x2)
根据罗尔中值定理：
(x1,x2)存在一点ξ使得g'(ξ)=0
即f'(ξ)*exp(-Kξ)-f(ξ)*k*exp(-Kξ)=0,即f'(ξ)-k*f(ξ)=0
所以对于任意实数k,至少存在一点ξ∈(a,b),使等式f'(ξ)/f(ξ)=K成立
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