Question

已知圆C 1 :x 2 +y 2 +2x+8y-8=0，圆C 2 :x 2 +y 2 -4x-4y-2=0，判断两圆的位置关系.

Answer 1

解法一：圆C 1 与圆C 2 的方程联立得到方程组

①-②得x+2y-1=0③ 由③得y= ，把上式代入①并整理得x 2 -2x-3=0④.

方程④的判别式Δ=(-2) 2 -4×1×(-3)=16＞0 所以方程④有两个不相等的实数根，即圆C 1 与圆C 2 相交.

解法二：把圆C 1 ：x 2 +y 2 +2x+8y-8=0 圆C 2 :x 2 +y 2 -4x-4y-2=0 化为标准方程，得(x+1) 2 +(y+4) 2 =25与（x-2） 2 +(y-2) 2 =10，圆C 1 的圆心是点（-1，-4），半径长r 1 =5;圆C 2 的圆心是点（2，2），半径长r 2 = .圆C 1 圆C 2 的连心线的长为 =3 圆C 1 、圆C 2 的半径长之和为r 1 +r 2 =5+ 半径长之差为r 1 -r 2 =5 .而5 ＜3 ＜5+ 即r 1 -r 2 ＜3 ＜r 1 +r 2 所以圆C 1 与圆C 2 相交.

点评：判断两圆的位置关系一般情况下，先化为标准方程，再利用几何法判断较为准确直观.