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可以使用等价无穷小的概念。因为e的x次幂-1等价于x，1-cos(2x)=2(sinx)平方，等价于x平方，所以，原式=lim(x->0)[tan(x平方)(x+1)]/(2x平方)=1/2
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图为信息科技（深圳）有限公司
2021-01-25 广告
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因为eˣ-1~x,当x趋向0
所以有e^(tanx²)-1~tanx²
同时tanx~x,当x趋向0
所以tanx²~x²
而1-cosx~1/2x²
带入以上式子，
=limx²(1+x)/(1/2x²)
=2
所以有e^(tanx²)-1~tanx²
同时tanx~x,当x趋向0
所以tanx²~x²
而1-cosx~1/2x²
带入以上式子，
=limx²(1+x)/(1/2x²)
=2
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lim{x->0} (e^tan(x^2) - 1)(x+1)/(1-cos2x)
= lim{x->0} (tan(x^2))/[(2x)^2/2!] (Attn: e^x ~ 1+x, and 1-cos2x ~ (2x)^2/2!, as x->0)
= lim{x->0} (x^2)/[(2x)^2/2!] (Attn: tan x ~ x, as x->0)
= 1/2
= lim{x->0} (tan(x^2))/[(2x)^2/2!] (Attn: e^x ~ 1+x, and 1-cos2x ~ (2x)^2/2!, as x->0)
= lim{x->0} (x^2)/[(2x)^2/2!] (Attn: tan x ~ x, as x->0)
= 1/2
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