Question

如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，经过点A，O的圆分别与AB、AD相交于E、F，EF与AO相交于G，

如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，经过点A，O的圆分别与AB、AD相交于E、F，EF与AO相交于G，⊙I分别切OE，AB，BD于M，N，H，且AD=14．（1）图中有哪些三角形与△AGF相似（写出结论不要求证明）；（2）求AE+AF的值；（3）若tan∠AEF=43，求⊙I的半径．

Answer 1

（1）与△AGF相似的有△EGO、△AEO、△DFO；（3分）

（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OD，∠BAO=∠DAO=45°，
∵∠DFO=∠AEO，
∴△AEO≌△DFO（AAS），
∴AE=DF，
∴AE+AF=AD=14；（3分）

（3）∵AE+AF=14，tan∠AEF=

4

3

，
∴AE=6、AF=8、EF=10，（2分）
∵∠EAF=90°，
∴EF是直径，
∴∠EOF=90°，
∵OE=FO，
∴EO=5

2

，
∵AB=14，OA=OB，∠AOB=90°，
∴BO=7

2

，
∴BE=AB-AE=14-6=8，（2分）
∴S_△BOE=

1

2

×8×7

2

×sin45°=28，（2分）
∴⊙I的半径r=

2S△

a+b+c

=

56

12 2 +8

=

14

3 2 +2

=3

2

-2．（2分）