Question

如图，已知在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q（1

如图，已知在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q（1）求四边形AQMP的周长；（2）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由。

Answer 1

解：（1）∵AB∥MP，QM∥AC， ∴四边形APMQ是平行四边形，∠B=∠PMC，∠C=∠QMB， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴∠PMC=∠QMB， ∴BQ=QM，PM=PC， ∴四边形AQMP的周长=AQ=AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a； （2）当点M中BC的中点时，四边形APMQ是菱形， ∵点M是BC的中点，AB∥MP，QM∥AC， ∴QM，PM是三角形ABC的中位线， ∵AB=AC， ∴QM=PM= AB= AC， 又由（1）知四边形APMQ是平行四边形， ∴平行四边形APMQ是菱形。