Question

如图所示，在Rt△ABC 中，∠C=90°，点O在AB上，以O 为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E，且

如图所示，在Rt△ABC 中，∠C=90°，点O在AB上，以O 为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E，且∠CBD=∠A。 （1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若AD∶AO=8∶5，BC=2，求BD的长。

Answer 1

解：（1）连接OD、DE， ∵AE为⊙O直径， ∴∠ADE=90°=∠ACB， ∴DE∥BC， ∴∠EDB=∠CBD=∠A， ∵AO=DO， ∴∠A=∠ADO=∠EDB， 则∠ODB=∠ADE=90°， ∵D在⊙O上， ∴BD为⊙O切线； （2）连接DE，设AD为8x， ∴AO=5x=OE， 在Rt△ADE中，DE=6x， ∵ DE//BC， ∴△ADE∽△ACB， ∴AC= ， ∵△DCB∽△BCA， 则 ， ∴ ·DC， ∴DC= ， 在Rt△DCB中，BD= 。