Question

已知f（x）是二次函数且f（0）=0，f（x+1）=f（x）+x+1，求f（x）

已知f（x）是二次函数且f（0）=0，f（x+1）=f（x）+x+1，求f（x）．

Answer 1

设二次函数f（x）=ax 2 +bx+c ∵f（0）=a×0+b×0+c=0，∴c=0 ∴f（x）=ax 2 +bx， 又∵f（x+1）=f（x）+x+1， ∴a（x+1） 2 +b（x+1）=ax 2 +bx+x+1 ∴ax 2 +2ax+a+bx+b=ax 2 +bx+x+1 ∴2ax+（a+b）=x+1 ∴ 2a=1 a+b=1 ，解得 a= 1 2 ，b= 1 2 ∴f（x）= 1 2 x 2 + 1 2 x 故答案为f（x）= 1 2 x 2 + 1 2 x