如图，点P是直线l：y=-2x-2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线y=x2于A、B两点．（1）若直线m的解析式为y

如图，点P是直线l：y=-2x-2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线y=x2于A、B两点．（1）若直线m的解析式为y=-12x+32，求A，B两点的坐标；（2）①若点P... 如图，点P是直线l：y=-2x-2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线y=x2于A、B两点．（1）若直线m的解析式为y=-12x+32，求A，B两点的坐标；（2）①若点P的坐标为（-2，t）．当PA=AB时，请直接写出点A的坐标；②试证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上能找到点A，使得PA=AB成立．（3）设直线l交y轴于点C，若△AOB的外心在边AB上，且∠BPC=∠OCP，求点P的坐标． 展开
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#热议# 生活中有哪些实用的心理学知识？
猫九尾O9x3J
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（1）∵点A、B是抛物线y=x2与直线y=-
1
2
x+
3
2
的交点，
∴x2=-
1
2
x+
3
2
，
解得x=1或x=-
3
2
．
当x=1时，y=1；当x=-
3
2
时，y=
9
4
，
∴A（-
3
2
，
9
4
），B（1，1）．

（2）①∵点P（-2，t）在直线y=-2x-2上，∴t=2，∴P（-2，2）．
设A（m，m2），如答图1所示，分别过点P、A、B作x轴的垂线，垂足分别为点G、E、F．

∵PA=AB，
∴AE是梯形PGFB的中位线，
∴GE=EF，AE=
1
2
（PG+BF）．
∵OF=|EF-OE|，GE=EF，
∴OF=|GE-EO|
∵GE=GO-EO=2+m，EO=-m
∴OF=|2+m-（-m）|=|2+2m|
∴OF=2m+2，
∵AE=
1
2
（PG+BF），∴BF=2AE-PG=2m2-2．
∴B（2+2m，2m2-2）．
∵点B在抛物线y=x2上，
∴2m2-2=（2+2m）2
解得：m=-1或-3，
当m=-1时，m2=1；当m=-3时，m2=9
∴点A的坐标为（-1，1）或（-3，9）．
②设P（a，-2a-2），A（m，m2）．
如答图1所示，分别过点P、A、B作x轴的垂线，垂足分别为点G、E、F．
与①同理可求得：B（2m-a，2m2+2a+2）．
∵点B在抛物线y=x2上，
∴2m2+2a+2=（2m-a）2
整理得：2m2-4am+a2-2a-2=0．
△=16a2-8（a2-2a-2）=8a2+16a+16=8（a+1）2+8＞0，
∴无论a为何值时，关于m的方程总有两个不相等的实数根．即对于任意给定的点P，抛物线上总能找到两个满足条件的点A，使得PA=AB成立．

（3）∵△AOB的外心在边AB上，∴AB为△AOB外接圆的直径，∴∠AOB=90°．
设A（m，m2），B（n，n2），
如答图2所示，过点A、B分别作x轴的垂线，垂足为E、F，则易证△AEO∽△OFB．

∴
AE
OF
＝
OE
BF
，即
m2
n
＝
?m
n2
，整理得：mn（mn+1）=0，
∵mn≠0，∴mn+1=0，即mn=-1．
设直线m的解析式为y=kx+b，联立<
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y＝kx+b
y＝x2