Question

已知函数f（x）=exxex+1．（1）证明：0＜f（x）≤1；（2）当x＞0时，f（x）＞1ax2+1，求a的取值范围

已知函数f（x）=exxex+1．（1）证明：0＜f（x）≤1；（2）当x＞0时，f（x）＞1ax2+1，求a的取值范围．

Answer 1

解答：（1）证明：设g（x）=xe^x+1，则g′（x）=（x+1）e^x，
当x∈（-∞，-1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；
当x∈（-1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．
∴g（x）≥g（-1）=1-e^-1＞0．
又e^x＞0，故f（x）＞0．
f′（x）=

ex(1?ex)

(xex+1)2

，
当x∈（-∞，0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（0，+∞）时慎缺，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
∴f（x）≤f（0）=1．
综上，有0＜f（x）≤1．
（2）解：①若a=0，则x＞0时，f（x）＜1=

1

ax2+1

，不等式不成立．
②若a＜0，则当0＜x＜

1

?a

时，

1

ax2+1

＞1，不等式不成立．
③若a＞0，则f（x）＞

1

ax2+1

等价于（ax²-x+1）e^x-1＞0．（*）
设h（x）=（ax²-x+1）e^x-1，则h′（x）=x（ax+2a-1）e^x．
若a≥

1

2

，则当x∈（0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，h（x）＞h（0）=0．
若0＜a＜

1

2

，则侍枯当x∈(0，

1?2a

a

)，h′（x）＜0，h（x）宽谈辩单调递减，h（x）＜h（0）=0．
于是，若a＞0，不等式（*）成立当且仅当a≥

1

2

．
综上，a的取值范围是[

1

2

，+∞）．