Question

2个重要极限的问题？

当x→0，ln(1+x)~x
那么当x→0，ln(1+e^x)~e^x
但这就是ln2~1
我觉得重要极限应该是在x对应的位置上出现任何f(x)都能直接替换出去，就是ln[1+f(x)]~f(x)，难道不是这样？

Answer 1

你所说的 ln[1+f(x)]~f(x) 是当 f(x) 趋近于 0 时，对数函数 ln[1+f(x)] 的渐近展开式，也被称为 ln 的一阶泰勒展开式。因此，当 f(x) 趋近于 0 时，ln[1+f(x)] 可以近似等于 f(x)。

然而，当 x 趋近于 0 时，f(x) 不一定等于 x。在题目中，我们有 ln(1+x)~x，这是因为当 x 趋近于 0 时，x 是 ln(1+x) 的一阶泰勒展开式，也即 ln(1+x) 可以近似等于 x。但是，当我们将 x 替换成 e^x 时，就不能再使用 ln(1+x)~x 的近似了。此时，我们需要使用 ln(1+e^x) 的泰勒展开式：

ln(1+e^x) = e^x - (1/2)e^(2x) + (1/3)e^(3x) - ...

当 x 趋近于 0 时，e^x 趋近于 1，因此上式可以近似为：

ln(1+e^x)~e^x

这个近似式的精度比 ln[1+f(x)]~f(x) 要低，只有在 x 趋近于 0 时才能使用。因此，当我们将 x 替换成 e^x 时，可以使用 ln(1+e^x)~e^x 的近似式，但这并不意味着我们可以将 ln(1+e^x) 写成 e^x 的形式并直接计算其值。

Answer 2

当x→0，ln(1+x)~x那么当x→0，ln(1+e^x)~e^x但这就是ln2~1我觉得重要极限应该是在x对应的位置上出现任何f(x)都能直接替换出去，就是ln[1+f(x)]~f(x)，难道不是这样？

这个理解不全面，你少了一个条件，就是x→0这个条件，没有这个条件就是错的，比如ln(1+e^x)~e^x 的前提是e^x→0，而不是x→0，所以结论ln2~1是错的。后面的一般结论ln[1+f(x)]~f(x)的前提是f(x)→0，而不是x→0。记住这个就什么都明白了。

Answer 3

事实上您列举的第二种情况不能成立。

极限为非零实数时，只需要求出极限即可。

只有当极限为零（无穷小）或者无穷大时，才会寻找等价无穷小或者等价无穷大。

详情如图所示:

供参考，请笑纳。

Answer 4

朋友，您好！详细过程如图rt，希望能帮到你解决问题

Answer 5

因为y=sinxx为偶函数，所以只需考虑一侧即可在单位圆中可得当0<x<π/2时，0<sinx<x<tanx。

同除sinx得，1<x/sinx<1/cosx即得cox<sinx/x<1两边分别以x趋向于0取极限左边的极限为1，右边是常数的极限为本身1。

生与发展：

古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对’无限‘的恐惧”，他们避免明显地人为“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。

到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中，改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。