Question

圆柱，圆锥的表面积和体积

Answer 1

在学完有关圆的周长和面积，以及扇形的周长面积之后。我们将提前来探索与之有关图形的性质，知识——圆柱与圆锥。这两个图形与我们前所学的圆形总感觉有相似之处，这次我们将探这两图形的表面积和体积。

   首先让我们来看圆柱的表面积。圆柱是如何形成的？它是怎么从一个二维平面形成了立体图形呢？它的底面是一个正圆形，从头到尾一直是这一个圆。它可能是由这个圆沿着与地面垂直的直线运动，中途的运动轨迹所形成的三维立体图形。它的表面积一共分为几部分。一、底面和上底面的面积一样的正圆形。二、圆柱的侧面。上底面加底面，再加侧面面积便是整圆柱的表面积。圆的面积我们会求，但是圆柱侧面的面积怎么求？它是一个曲面，我们没有学过？此时我仔细想了想，如果想直接求，那么如果将曲面变成二维平面，不就可求出来了。那么它的展开图是什么面图形呢？我猜测是一长方形，面积就是长乘宽。但这也只是猜测，还是要实验下可以下判断。于是我剪出了这样的展开图。发现都是长方形，也有几个正方形，但正方形也是特殊的长方形，所以这也说明圆柱侧面的展开图是长方形，所以面积就是长x宽，或者边长的平方就可以了。但我总不能每次遇见一个圆柱都把它给剪开吧！我想看看可不以把刚才得到的公式套进圆柱的信息中，也就是得知这里的长x宽分别在圆柱中是什么。现长方形的高正好是圆柱的高，而长只不过是绕了底面或上底面的圆一圈，所以圆形的周长地就是长。长X宽就等于圆的周长x高度，最后加上两个圆形的面积就可以得到圆柱的表面积了。如图：但最后还是要用字母表示一下，因为这是普遍适用，并不是特例。圆的面积是πr，而圆柱侧面是圆周长乘高，高我们一般用h，圆周长是2πr，最后的公式是：2πrh+2πr²。可是圆锥的表面积是什么呢？首先我们还是看圆锥由哪几部分形成。第一、它的上底面，底面各一个正圆形。第二、圆锥锥体部分展开图的面积。但是锥体的展开图是什么形状呢？首先我第一个想到了三角形，因为它的底是平的，上面的顶点也正好可以做圆锥的顶点，这么说肯定是个三角形呀！但是我还是要用实验来证明一下，是否是对的。但一定要是大数实验，这样才更可靠。我分别剪下几个三角形开始测试，但结果却完全与开始的猜测相反，绝对不能折成圆锥，每一个都是。这时我只能放弃我的第一个猜想，进行下一个猜想。这次我猜它是一个扇形，我还要再次测试多个扇形。这次所有的都成功了，这也说明展开图的确是一个扇形。扇形的面积我们会求，这样我们只用分别出扇形和圆的面积，最后加在一起便可求出圆锥的表面积。扇形的面积有两种方法来计算，首先我准备用圆心角的方法求出扇形的积。如图：这是一个扇形，它的圆心角就是∠aob＝n度。n/360xπr²就是此扇形的面积。可是转念一想，这圆心角n的度数是多少，完全无法得之，面积自然无从得之，所以这种方法不可行。此时我只得改变思路，来试一下1/2lr求面积式。1/2弧ab×母线就是扇形面积，但弧ab无法得知呀！可是它其实就是绕圆锥底面的正圆周长一圈，也就是说弧ab等于底面圆周长。这样弧ab就以表整式为πd，母线我们可以用l来表示。如图：最终1/2xπdl+πr²就是圆锥的表面积。这种方法可以顺势得之，很方便实用。

   这两位的表面积探索到现在便告一段落了，接下来我们将分别探索两者的体积。首先让我们看一下圆柱的体积，我看到它便觉得是底面积乘高，因为底面沿与地面垂直直线方向平移的运动轨道，便是一个圆柱。而运动长度正好就是它的高，这是我最开始的猜想，但必须证明一下看到底是不是正确的。图：这是一个圆柱，我们以它的上底面（底面）上其中一个圆心为准，将整体平均分成无数个小三角体。如果你分的数量小，每份就是一个扇形，误差很大。但分的越细，那条弧就越接近直线，最终成为直线。现在我们把分成的无数小三角体再分为两组，如图：现在我们将两组合成为一体，其实就是一个长方体，它的积我们会求。长x宽x高。得到的体积就是圆柱体积。我们可以看一下这里的长，宽，高分别是圆柱的什么，从而得到公式。长方形的长就是圆柱上底面（底面）的一半。宽就是他们的半径，而高自然还是圆柱的高。如图：半径可以用r表示，周长一半为1/2πd,高就是h，最终连在一起就是：r×1/2π2rh=πr²h。也就是底面积乘高，与我的猜想一样。这也就是圆柱的体积公式

接下来让我们看一下圆锥的体积如何求。我感觉它的体积和圆柱有着关系，因为它们的底同样是一个正圆形，但如果真的有关系，又是什么关系呢？如果要说有关系，那圆柱与圆锥肯定是要等底等高，我猜想它们之间的关系是，圆柱比圆锥=3:1，因为一样绝不可能，两倍关系又有点少，直觉告诉我应该是三倍。我们不妨亲自实验一下看是不是，如果不是那到底是几倍。但不只要做一个，因为只有大数实验才更加可靠。

现在我要自己做一个这样的实验。一共要作两部分。一，圆柱体2.与圆柱同底等高的圆锥。最后我们将圆锥体内装满细小的体之后，倒入圆柱内，看倒几次可以完全倒满圆柱就是圆锥的几倍。为了更加准确我们要大数实验，周长，母线长度均不同，而且圆心角度数也不一样。如图：

（阴影部份为剪去部伤，白色部为扇形）白色部分的圆心角占整体几分之几，弧长也占整体几分之几。这样我们同时也确定了圆柱上底面和底面的周长，它的直径就是周长÷π，可以就此画出一个直径为周长÷π的圆形。现在只用确定圆锥的高是多少即可完成。如图：

现在的字母h便是圆锥的高，这样同时也得知了圆柱的高，也就是展开的长方形的宽，长就是圆的周长。

这就是那个圆柱。现在分别把圆锥的高，底与圆柱相对比，发现误差非常小，所以现在就可以法实验了。如果选择填充物最好选择空隙小，密度高的物体。因为这样误差更小。首先想到的是水，但是考虑到我们用的材料是纸，会被水浸湿破开。所以我们决定用土，但必须是特别细小的颗粒的散土。我还将石头等杂扔出，将土西压得很细碎，这时事俱备，只欠实验。我将圆锥内堆满土，然向压平倒入圆柱内。第一下完全没有到满，第二下也没有，直到第三次完全倒满。每一个都是这样，所以最终我们达成临时性共识：圆柱比圆锥=3:1（等底等高）也就是说求圆锥的面积就是底面积乘高除二。如图：还可以用字母表示一下S=1/3πr²。可是这只是实验，会有误差，而且每次差个0.1根本看不出来。我们必须用严格的推理证明，得到的答案才准确。但目前我们还没有能力，等以后专门学推理证明时才可以。