Question

基础知识-拉格朗日乘数法

Answer 1

推导 ：参考：高等数学下册 第六版 同济大学114页
定义：
要找到函数 z = f (x,y) 在附加条件 ψ(x,y) = 0 下的可能极值点，可以先做拉格朗日函数
*L(x,y) = f(x,y) + λψ(x,y) *

其中 λ 为参数，求对 x 与 y的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程 ψ(x,y) = 0 联立起来：
fx(x,y) + λψx(x,y) = 0
fy(x,y) + λψy(x,y) = 0
ψ(x,y) = 0
由这个方程组解出 x, y , λ ,这样得到的（x,y）就是f(x,y)在附加条件 ψ(x,y) = 0 下可能的极值点。

这个方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形，例如
u = f(x,y,z,t)
在附加条件
ψ(x,y,z,t) = 0,
φ(x,y,z,t) = 0
则拉格朗日函数
L(x,y,z,t) = f(x,y,z,t) + λψ(x,y,z,t) + μφ(x,y,z,t)
其中 λ，μ为参数，分别求其偏导数，并使之为0
具体例子参考 116页