Question

指数能是负数吗？

Answer 1

乘方是我们在初中的时候要接触的一种新型的运算，在一个乘方算式中，包含这样几个定义，分别是幂指数和底数，乘方式多个相同因数的积的表达方式，底数代表的就是因数，指数代表的是因数（底数）的个数，幂代表的是一个乘方的结果。比如3*3*3，我们就可以表为：3³。现在我们已经清楚了，指数代表了因数的个数，所以一般的暂时性共识就是指数必须是一个正整数。

本篇文章我想探讨的是，指数能是一个负数吗？这个方便讨论，先要说的是关于同底数幂的乘法。

首先我们来看一个代数式：

请问这个公式能够化简吗？也许猛一看这个公式有些复杂，那么，我先来举一个符合这个公式道理的特例（需要明确的是这个公式，是一个同底数幂）：

实际上，这个例子所代表的就是四个十相乘再乘以五个十相乘，其结果也就是九个十相乘，也就是十的九次方。那么，根据这个特例，我们是否能与最开始的那个代数式所关联呢？实际上是可以的。我们先明确为什么这个算式和最开始那个代数式的模式是一样的？因为这个算式实际上就是把a替换为了十把n替换为四，把m替换为五。所以，那个代数式的结果就应该是：

大家也可以找更多的特例来验证这个代数式（在这里我就不做过多的证明了，并且a可以代表任何数n和m也是这样的）

不过，我们只是通过特例来证明的，我们应该如何用这个代数式来证明这个结果可靠呢？文字语言这样证明：n个a相乘乘以m个a相乘等于m+n个a相乘。

根据这个乘法的代数式，我们是否能推导出来一个除法的，并且和他有关系的代数式呢？我想到了这样一个算式：

在计算这个算式的时候我们需要分类讨论：

首先我们讨论的是n大于m的情况。的那么，这个代数式又该如何计算呢？我们仍然可以举一个特例，如：

是的，我们可以把十的五次方除以十的三次方，这一个看似很困难的算式，变成一个分式，再根据分数的基本性质，将分子和分母同时除以十的三次方，最后的结果也就是十的二次方，也就是100。那么，请大家观察一下，除数被除数以及商的指数之间有什么关系呢？我们会发现，被除数的指数减去除数的指数等于商的指数，也就是5-3=2，所以我们可以根据这个特例来推断：

因此，我们也发现了一个规律，商的指数就应该等于倍数数的指数减去除数的指数，当然，我们仍然是通过特例来证明的，我们应该如何通过严谨的推理来证明呢？

首先，我们把这个除法算式变成一个分式，再根据先前讨论过的乘法计算方法，把这个分式变成

这一步中，由于n大于m，所以我们可以把a的n次方变成a的m次方乘以a的n-m次方，然后我们将分子和分母同时除以a的m次方，就可以得到

所以我们可以通过严谨的逻辑推理证明出，a的n次方除以a的m次方等于a的n-m次方。

以上讨论的情况是，当n大于m的时候，那么，n=m呢？这种情况又该如何计算呢？

我们首先仍然可以举一个特例，由于m=n的话，我们就可以把这个算式变成a的n次方除以a的n次方，我们可以举这样一个特例：

由于我们知道十的三次方和十的三次方肯定是相等的，所以这个算式的结果应该等于一。我们仍然可以取出很多这样的特例来证明，a的n次方除以a的n次方应该就等于一，这里我们采用的是归纳总结法。

可是，归纳总结仍然是不够可靠的，所以我们还是需要通过逻辑推理来证明这个算式的答案等于一：通过除法和分数的关系，把这个算式变成一个分式，再通过约分就可以到这样的结果：

在这里，人为规定，a的n次方除以a的n次方仍然可以使用a的n次方除以a的m次方时所发现的规律（n＞m），也就是a的N次方除以a的n次方等于a的n-n次方（目的是为了统一形式），所以a的n次方除以a的n次方就等于

下面我们要讨论的是，在n小于m的情况下，这个算式又该如何计算？仍然可以取这样一个特例：

根据以前的方法，我们仍然可以把这个算式变成一个分式，然后再通过约分得到的结果是十的二次方分之一。

和原来的原因一样，举特例的方法只是归纳总结法是不可靠的，所以我们仍要用代数式的推理法来证明一下：

原是变成第一步，运用的是乘法和分式之间的关系，第一部和第二部之间运用的是同底数幂的乘法法则，第三步使用的是分数的基本性质：约分，这样我们就成功地证明了a的n次方除以a的m次方（n＜m）到底该如何计算了。

可是这样就算完了吗？我们都知道数学要求的是简洁，同样是同底数幂的除法，分了三类讨论，n＞m和n=m的答案仍然是幂形式，n＜m的情况却变成了一个分数的形式，那么我们应该如何统一这两种形式呢？

根据我们刚才的推断，最后的答案应该是：

于是人们规定，a的m-n次方分之一等于a的n-m次方。如何理解呢？根据最开始的特例，我们可以这样理解：十的三次方除以十的五次方等于十的三减五次方，等于十的负二次方。这样就大大解决了形式不统一的问题。

如果我们把人们的规定简化一下，就是这样的：

于是我们就不用分类讨论了，而是可以把它结合为一个算式：

所以由此可知，指数实际上也是可以为负数的，这也是通过我们严谨的推理证明得到的共识。

但是我们最开始得到的人为共识：

我们会发现，a的n次方和a的负n次方应该互为倒数，我们也可以用逻辑推理来证明这一点（原理：互为倒数，两数相乘等于一，以及：同底数幂的乘法法则）：

是不是非常的神奇呢？当两个同底数幂的指数为相反数的时候，他俩的结果应该互为倒数。

那么负指数究竟应该如何应用呢？实际上，负一次方也就是除十的意思，负二次方就是除100的意思，负三次方，负四次方，以此类推。于是这样一个小数也可以用科学计数法来表示了，比如说0.001，就可以用1×10的负三次方来表示（规定底数只能是有理数）。

这就是关于负指数的问题。