Question

如何求二阶线性常系数微分方程的通解

Answer 1

较常用的几个：

1、Ay''+By'+Cy=e^mx 

特解    y=C(x)e^mx

2、Ay''+By'+Cy=a sinx + bcosx    

特解    y=msinx+nsinx

3、Ay''+By'+Cy= mx+n                 

特解    y=ax

二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是实常数。自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y''+py'+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。

若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。特征方程为：λ^2+pλ+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。

扩展资料：

通解=非齐次方程特解+齐次方程通解

对二阶常系数线性非齐次微分方程形式ay''+by'+cy=p(x)

 的特解y*具有形式

y*= 

其中Q(x)是与p(x)同次的多项式，k按α不是特征根、是单特征根或二重特征根（上文有提），依次取0,1或2.

将y*代入方程，比较方程两边x的同次幂的系数（待定系数法），就可确定出Q(x)的系数而得特解y*。

多项式法：

设常系数线性微分方程y''+py'+qy =pm

 (x)e^(λx)，其中p，q，λ是常数，pm(x)是x的m次多项式，令y=ze^(λz) ，则方程可化为：

F″(λ)/2!z″+F′(λ)/1!z′+F(λ)z=pm(x) ，这里F(λ)=λ^2+pλ+q为方程对应齐次方程的特征多项式。

升阶法：

设y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)，当f(x)为多项式时，设f(x)=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an，此时，方程两边同时对x求导n次，得

y'''+p(x)y''+q(x)y'=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an……

y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)!

y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n!

令y^n=a0n!/q(q≠0),此时，y^(n+2)=y^(n+1)=0。由y^(n+1)与y^n通过倒数第二个方程可得y^(n-1)，依次升阶，一直推到方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)，可得到方程的一个特解y(x)。