Question

可逆矩阵的定义

Answer 1

可逆矩阵的定义如下：

设P是数域，A∈Pn*n，若存在B∈Pn*n，使得AB=BA=E，E为单位阵，则称A为可逆阵，B为A的逆矩阵，记为B=A-1。若方阵A的逆阵存在，则称A为可逆矩阵或非奇异矩阵。

设矩阵A为n*n矩阵，那么以下命题等价：

1、A是可逆矩阵。

2、存在n*n矩阵C使得CA=I。

3、存在n*n矩阵D使得AD=I。

4、A的各列线性无关。

5、对于向量空间R^n中任意向量b，方程AX=b有且仅有一个解。

6、A的各列张成R^n。

7、A行等价于单位矩阵。

8、方程AX=0仅有平凡解。

9、A、T是可逆矩阵。

10、A有n个主元位置，有n个主元列，没有自由元。

介绍：

可逆矩阵（invertible matrix）是一种存在且唯一存在逆阵的特殊矩阵。

矩阵A为n阶方阵，若存在n阶矩阵B，使得矩阵A、B的乘积为单位阵，则称A为可逆阵，B为A的逆矩阵。若方阵的逆阵存在，则称为可逆矩阵或非奇异矩阵，且其逆矩阵唯一。

命题“存在n*n矩阵C使得CA=I”蕴含“方程AX=0仅有平凡解。”

由题可得：

CAX=C（AX）=C*0=0

CAX=（CA）X=IX=0

可得X=0. 

8蕴含10，即“方程AX=0仅有平凡解”蕴含“A有n个主元位置，有n个主元列，没有自由元。”

这同时说明AX=0没有自由变量（有自由变量的话就有无穷多解），它的每个变量都是主元（有n个主元位置），每列都是主元列。

10蕴含7，即“A有n个主元位置，有n个主元列，没有自由元。”蕴含“A行等价于单位矩阵”：

已知A是方阵且有n个主元位置，则主元必然位于主对角线上（n个主元位置在不同的行）。所以A的行最简形是单位矩阵In。