Question

二重积分极坐标计算方法

Answer 1

二重积分极坐标计算方法如下：

根据变量之间的关系，二重积分中被积函数的转化

于是，二重积分从直角坐标系转化为极坐标为

极坐标系下二重积分化为累次积分的三种情形：

一、区域特征如下图：极点O在积分区域D外

其中

1.θ 的积分限确定方法：积分区域D的边界与极点连线，连线与极轴正向的夹角最小值α为积分下限，最大值β为积分上限；

2. r 的积分限确定方法：从极点出发一条射线，射线穿过积分区域D，先穿过的曲线φ1(θ)为积分下限，后穿过的曲线φ2(θ)为积分上限。 

因此二重积分转化为极坐标系下的积分为：

二、区域特征如下图：极点在积分区域的边界上

其中：

1、θ 的积分限确定方法：积分区域D的边界与极轴正向的夹角，最小值α为积分下限，最大值β为积分上限；

2、r 的积分限确定方法：从极点出发一条射线，射线穿过积分区域D，由于极点在积分区域D的边界上，故 r的积分下限为0，射线会穿过曲线，此时曲线为积分上限φ(θ)。