Question

二重积分的极坐标情况的题，问题在图片中红笔写的，还望能够详细帮忙解答一下疑惑，感谢

Answer 1

①把极坐标与直角坐标的关系式【x=rcos♀，y=rsin♀】★
代入曲线的直角坐标方程y=-a+√aa-xx中，解出r=-2asin♀。
②♀角是极角，
因为积分区域D是在射线y=-x★★与y=0★★★所界定的区域里，
所以，♀角的变化范围，也就是♀的积分限是从-π/4到0，
是这样得出来的：
把★代入★★中，解出♀=-π/4，
把★代入★★★中，解出♀=0。

这是解决此类问题的通法。

追问

大神，你就是神啊，回答的太好啦，我好感动，…>_<…顺便再请教您一下，那么这类题，极径r是都大于0吗？我不是指它一定是正数，就是说它可不可能大于别的数？那么可能的话，又是有什么方程决定的呢？谢谢您，太感谢啦！^_^(o^^o)

追答

考虑一下由xx+yy=1和xx+yy=2围成的环形区域。

追问

谢谢您，非常感谢👍

Answer 2

1.由y=-a+根号(a^2-x^2)移项整理，得：x^2+y^2=-2ay。
代入极坐标变换公式，有r^2=-2arsinθ，即r=-2asinθ。
2.考虑阴影部分区域中任意一点P，则θ是OP跟x轴正向的夹角。