Question

如何计算四分位数？

Answer 1

分位数是将总体的全部数据按大小顺序排列后，处于各等分位置的变量值。如果将全部数据分成相等的两部分，它就是中位数；如果分成四等分，就是四分位数；八等分就是八分位数等。四分位数也称为四分位点，它是将全部数据分成相等的四部分，其中每部分包括25%的数据，处在各分位点的数值就是四分位数。四分位数有三个，第一个四分位数就是通常所说的四分位数，称为下四分位数，第二个四分位数就是中位数，第三个四分位数称为上四分位数，分别用Q1、Q2、Q3表示。四分位数作为分位数的一种形式，在统计中有着十分重要的作用和意义，现就四分位数的计算做一详细阐述。
一、资料未分组四分位数计算
第一步：确定四分位数的位置。Qi 所在的位置=i（n+1）/4，其中i=1，2，3。n表示资料项数。
第二步：根据第一步四分位数的位置，计算相应四分位数。
例1：某数学补习小组11人年龄（岁）为：17，19，22，24，25，
28，34，35，36，37，38。则三个四分位数的位置分别为：
Q1所在的位置=（11+1）/4=3，Q2所在的位置=2（11+1）/4=6，Q3所在的位置=3（11+1）/4=9。
变量中的第三个、第六个和第九个人的岁数分别为下四分位数、中位数和上四分位数，即：
Q1=22（岁）、Q2=28（岁）、Q3=36（岁）
我们不难发现，在上例中（n+1）恰好是4的整数倍，但在很多实际工作中不一定都是整数倍。这样四分位数的位置就带有小数，需要进一步研究。带有小数的位置与位置前后标志值有一定的关系：四分位数是与该小数相邻的两个整数位置上的标志值的平均数，权数的大小取决于两个整数位置的远近，距离越近，权数越大，距离越远，权数越小，权数之和应等于1。
例2：设有一组经过排序的数据为12，15，17，19，20，23，25，
28，30，33，34，35，36，37，则三个四分位数的位置分别为：
Q1所在的位置=（14+1）/4=3.75，Q2所在的位置=2（14+1）/4=7.5，Q3所在的位置=3（14+1）/4=11.25。
变量中的第3.75项、第7.5项和第11.25项分别为下四分位数、中位数和上四分位数，即：
Q1=0.25×第三项+0.75×第四项=0.25×17+0.75×19=18.5；
Q2=0.5×第七项+0.5×第八项=0.5×25+0.5×28=26.5；
Q3=0.75×第十一项+0.25×第十二项=0.75×34+0.25×35=34.25。
二、资料已整理分组的组距式数列四分位数计算
第一步：向上或向下累计次数（因篇幅限制，以下均采取向上累计次数方式计算）；
第二步：根据累计次数确定四分位数的位置：
Q1的位置 = （∑f+1）/4，Q2的位置 = 2（∑f +1）/4，Q3的位置 = 3（∑f +1）/4
式中：∑f表示资料的总次数；
第三步：根据四分位数的位置计算各四分位数（向上累计次数，按照下限公式计算四分位数）：
Qi=Li+■×di
式中：Li——Qi所在组的下限，fi——Qi所在组的次数，di——Qi所在组的组距；Qi-1——Qi所在组以前一组的累积次数，∑f——总次数。
例3：某企业工人日产量的分组资料如下：

根据上述资料确定四分位数步骤如下：
（1）向上累计方式获得四分位数位置：
Q1的位置=（∑f +1）/4=（164+1）/4=41.25
Q2的位置=2（∑f +1）/4=2（164+1）/4=82.5
Q3的位置=3（∑f +1）/4=3（164+1）/4=123.75
（2）可知Q1，Q2，Q3分别位于向上累计工人数的第三组、第四组和第五组，日产量四分位数具体为：
Q1=L1+■×d1=70+■×10=72.49（千克）
Q2=L2+■×d2=80+■×10=80.83（千克）
Q3=L3+■×d3=90+■×10=90.96（千克）