Question

三阶方阵A的特征值为1，-1，2，则B=2A 3 -3A 2 的特征值为-1，-5，4-1，-5，4．

Answer 1

假设矩阵A的特征值λ对应有特征向量α，即：Aα=λα，
则：A ² α ² =A（Aα）α=Aλαα=λ（Aα）α=λλαα=λ ² α ² ，
从而：λ ² 为A ² 的特征值，
且A ³ α ³ =A（A ² α ² ）α=Aλ ² α ² α=λ ² （Aα）α ² =λ ³ α ³ ，
也有：λ ³ 为A ³ 的特征值，
于是：（2A ³ -3A ² ）的特征值就为2λ ³ -3λ ² ，
所以，B=2A ³ -3A ² 的特征值为：
2•1 ³ -3•1 ² =-1，
2•（-1） ³ -3•（-1） ² =-5，
2•2 ³ -3•2 ² =4．