Question

已知f(x)在R上为奇函数,函数F(x)=f(tanx)求证 方程F(x)=0至少有一个实根？

Answer 1

方法一：（这是一个全面且说服力强的通证法 ）
因为f(x)在R上为奇函数,所以肯定有f(x)=0,即可得f(x)在实数范围内至少存在一个根.
又因为f(x)的定义域为R,且有F(x)=f(tanx),而tanx的值域也为R.
由奇函数有f(-x)=-f(x).而也有f(tan-x)=f(-tanx)=-f(tanx)所以可得F(x)也是奇函数.
综上,F(x)也是奇函数,即也有“在实数范围内至少存在一个根”的结论.
方法二：（也可以这样通过枚举法证明,但这属小聪明的方法）
因为 f(x) 奇函数过原点,而有f(0)=0.又有tanx=0 ,且F(x)=f(tanx),所以F(0)=0
所以F(x)至少有一个实根 .,2,奇函数过原点
f(0)=0
则tanx=0
x=kπ(k属于Z)
这样F(0)=f(tan0)=0
所以至少有一个实根,1,因为 f（-x）=-f（x）
所以 f（0）-f（0）=0 所以方程至少有一个实根,0,