Question

如何用微分学定义判断函数的可微性？

Answer 1

解析如下：

设z=xy，则两个偏导数分别为zx=y，zy=x。

所以，dz=zx·dx+zy·dy=ydx+xdy。

如果函数z=f(x, y) 在(x, y)处的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，

其中A、B不依赖于Δx, Δy，仅与x,y有关，ρ趋近于0(ρ=√[(Δx)2+(Δy)2])，此时称函数z=f(x, y)在点（x，y）处可微分，AΔx+BΔy称为函数z=f(x, y)在点(x, y)处的全微分，记为dz即dz=AΔx +BΔy。

该表达式称为函数z=f(x, y) 在(x, y)处(关于Δx, Δy)的全微分。

相关定义：

1、如果函数z=f（x，y）在点p0（x0，y0）处可微，则z=f（x，y）在p0（x0，y0)处连续，且各个偏导数存在，并且有f′x（x0，y0）=A，f′y（x0，y0）=B。

2、若函数z=f（x，y）在点p0（x0，y0）处的偏导数f′x，f′y连续，则函数f在点p0处可微。

3、若f (x,y)在点(x0, y0)不连续，或偏导不存在，则必不可微。

4、若f (x,y)在点(x0, y0)的邻域内偏导存在且连续必可微。