Question

已知线性方程组, B取何值,方程组有解,并求通解？

Answer 1

首先是系数矩阵的秩
1 1 2 -3

1 2 -1 2

2 3 1 -1

矩阵初等变换得到

1 1 2 -3

0 1 -3 5

0 0 0 0

秩为2 增广矩阵

1 1 2 -3 1

1 2 -1 2 3

2 3 1 -1 B

初等变换

1 1 2 -3 1

0 1 -3 5 2

0 0 0 0 B-2

使方程组无解

增广矩阵秩和系数矩阵秩不同

当B=2时秩相同 B不=2时秩不同

通解=特解+基础解系

当B=2时

方程组解 {2,0,1,1}+k1{-5,3,1,0}+k2{8,-5,0,1}

k1,k2为任意常数

x3和x4为自变量

特解是让自变量全为1，

这里的自变量是X3，X4当为1时

可以求得一组特解 {2,0,1,1}

基础解析是把非齐次方程变成齐次方程的解

齐次方程是

X1+X2+2X3-3X4=0

X1+2X2-X3+2X4=0

2X1+3X2+X3-X4=0

就是等号后的数都变成0

解齐次方程步骤和上面一样

就是最后变换系数矩阵后取

x3和x4为自变量

令x3=1 x4=0

得到{-5,3,1,0}

令X3=0，X4=1

得到 {8,-5,0,1} k1{-5,3,1,0}+k2{8,-5,0,1}
,7,
已知线性方程组

X1+X2+2X3-3X4=1

X1+2X2-X3+2X4=3

2X1+3X2+X3-X4=B