Question

利用高斯公式计算曲面积分！急！急！急！

Answer 1

分别对x、y、z求偏导数后转化为一个三重积分后有，3∫∫∫ydxdydz 积分域为实心立方体。 到此可以直接用直角坐标积分这个三重积分得出结果。但是本人这里使用一个对称技巧。 

3∫∫∫ydxdydz=3∫∫∫[(y-1/2)+1/2] dxdydz =3∫∫∫(y-1/2) dxdydz +3∫∫∫（1/2） dxdydz =0 + 3∫∫∫（1/2） dxdydz =（3/2）×1 =3/2（1为这个单位立方体体积。

注意∫∫∫(y-1/2) dxdydz 因为这个立方体关于平面y-1/2=0对称，且y-1/2=0为奇次方，所以积分值为0）。

扩展资料：

高斯公式介绍：

1、基本概念：

首先，我们来看一下什么是高斯公式。

有一个定理如下：

设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围成，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在Ω上具有一阶连续偏导数，则有

或

这里Σ是Ω的整个边界曲面的外侧，cos α、cos β、cosγ 是Σ在点(x,y,z)处的法向量的方向余弦。其中的两个公式均叫做高斯公式。

2. 应用：

在计算曲面积分时，可以利用高斯公式把曲面积分化成三重积分。

在应用时需要注意定理的适用条件。定理中有三个关键词：围成、具有一阶连续偏导数、外侧。在使用时，注意以下几点：

（1）先看看积分域是不是一个闭区域，如果不是，那么就需要补个面（一般是平面）。

（2）注意闭区域（无论是否是补面之后形成的）内是否在∂P/∂x、∂Q/∂y和∂R/∂z处连续（即奇点），如果是奇点，还需要用补面来把奇点去掉。

（3）注意题目给定曲面的侧，到底是内侧还是外侧。

下图可以简明地列出这几个点：

补面①一般是补平面，补面②一般是球面、椭球面、半球面、半椭球面等。灵活运用就可以了。