Question

设A∽B,f(x)∈F[x],证明:f(A)∽f（B） F[x]改为K[x]

Answer 1

A和B相似,说明存在可逆矩阵P,使得P逆AP=B
本题我们只需要证明P逆f(A)P=f(B),就说明了f(A)与f(B)相似
为此我们先看一下f(x)=a0+a1x+a2x^2.是一个多项式.f(A)就是把x全换成A
我们分两步来证明本题
第一,我们由P逆AP=B能得到:P逆A^kP=B^k,对任意正整数k成立.
我们发现f(A)就是对A的各次方代数相加得到的.
我们由第一就能得到P逆f(A)P=a0P逆P+a1P逆AP+.=a0E+a1B+a2B^2...=f(B)
第二,我们要证明f(A)是有限次的多项式,就是f(A)中A的次数不能无限的大.
只有在这个条件下第一才会成立.因为如果A的次数无限的增大,那就涉及到无穷个方阵求和.我们知道对于这种无穷个求和的概念在数学分析里是与极限有关的,而线代不考虑极限情况.
A是n阶方阵,则f(A)的阶一定是有限的:因为n阶方阵组成的线性空间的维数是n^2的,就说明:
E,A,A^2,A^3.A^(n^2)一定线性相关.就说明f(A)的阶不会超过n^2-1次