Question

一道高一立体几何证明题 已知空间四边形O-ABC中,OA⊥BC,OB⊥AC.求证：OC⊥AB.

Answer 1

已知：空间四边形O-ABC中,OA⊥BC,OB⊥AC
求证：OC⊥AB
证明：（话说,不要把“空间四边形”五个字看死了,其实就是不共面的四点）
过O做平面ABC的垂线OO',垂足为O'
则OO'⊥BC
又OA⊥BC
则O'A⊥BC（则就是三垂线定理）
同理,O'B⊥AC
则O'为ABC垂心
于是O'C⊥AB
而OO'⊥AB
则AB⊥平面OO'C
AB⊥OC
别证：（还可以用空间向量,我们刚好正在学）
以｛OA,OB,OC｝为基底向量
由OA⊥BC
得OA·(OC-OB)=0,即OA·OC-OA·OB=0……（1）
又由OB⊥AC
得OB·OC-OB·OA=0……（2）
由(2)-(1)
OB·OC-OA·OC=0
即OC·（OB-OA）=0
OC·AB=0
即证,OC⊥AB
(其中OA,OB,OC为向量,只是箭头无法打出,在此作下解释)