Question

线性方程组只有唯一解吗？

Answer 1

解：写出该方程的增广矩阵：
2-λ     2      -2     1
2        5-λ   -4     2
-2      -4     5-λ   -λ-1
对增广矩阵进行初等行变换，获得矩阵的行最简形式：
1       0       (λ-9)/2           (λ-3)/2
0       1             1                    1
0       0    (λ-10)*(λ-1)    (λ-4)*(λ-1)
讨论：
当λ=10时，系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩为3，故方程组无解
当λ≠10且λ≠1时，系数矩阵的秩为3，增广矩阵的秩为3，故方程组有唯一解
当λ=1时，系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩为2，故方程组有无穷多解
将λ=1代入矩阵的行最简形式：
1       0      -4      -1
0       1        1       1
0       0        0       0
先获得对应齐次方程的通解，即
（x1,x2,x3)T=C*(4,-1,1)T,  C为任意常数
再获得该非齐次方程组的一个特解, 即：
（x1,x2,x3)T=(-1,1,0)T
故该方程组的通解为：
（x1,x2,x3)T=(-1,1,0)T+C*(4,-1,1)T

在对此线性方程组进行初等变换，
化为最简型之后，
如果系数矩阵的秩R(A)小于增广矩阵的秩R(A,b)，
那么方程组就无解
而如果系数矩阵的秩R(A)等于增广矩阵的秩R(A,b)
方程组有解，
R(A)=R(A,b)等于方程组未知数个数n时，有唯一解。
而若R(A)=R(A,b)小于方程组未知数个数n时，有无穷多个解。