Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与⊙O相切于点D，弦DF⊥AB于点E，线段CD=10，连接BD．（

如图，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与⊙O相切于点D，弦DF⊥AB于点E，线段CD=10，连接BD．（1）求证：∠CDE=2∠B；（2）若BD：AB= 3 ：2，求⊙O的半径及DF的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD． ∵直线CD与⊙O相切于点D， ∴OD⊥CD，∠CDO=90°，∠CDE+∠ODE=90°． （2分） 又∵DF⊥AB，∴∠DEO=∠DEC=90°． ∴∠EOD+∠ODE=90°， ∴∠CDE=∠EOD．                       （3分） 又∵∠EOD=2∠B， ∴∠CDE=2∠B．                       （4分） （2）连接AD． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°．                         （5分） ∵BD：AB= 3 ：2 ， ∴ 在Rt△ADB中cosB= BD AB = 3 2 ， ∴∠B=30°．                          （6分） ∴∠AOD=2∠B=60°． 又∵∠CDO=90°， ∴∠C=30°．                          （7分） 在Rt△CDO中，CD=10， ∴OD=10tan30°= 10 3 3 ， 即⊙O的半径为 10 3 3 ．                 （8分） 在Rt△CDE中，CD=10，∠C=30°， ∴DE=CDsin30°=5．                    （9分） ∵DF⊥AB于点E， ∴DE=EF= 1 2 DF． ∴DF=2DE=10．                        （10分）