Question

若函数f（x）在定义域内存在区间[a，b]，满足f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，则称这样的函数f（x）为“

若函数f（x）在定义域内存在区间[a，b]，满足f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，则称这样的函数f（x）为“优美函数”．（Ⅰ）判断函数 f(x)= x 是否为“优美函数”？若是，求出a，b；若不是，说明理由；（Ⅱ）若函数 f(x)= x +t 为“优美函数”，求实数t的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由于函数 f(x)= x 是增函数，则得 a =a b =b ， 因为a＜b，所以 a=0 b=1 ； （Ⅱ）由于函数 f(x)= x +t 为“优美函数”，则得方程 x +t=x 有两实根， 设 x =m (m≥0) ，所以关于m的方程m+t=m 2 即t=m 2 -m在[0，+∞）有两实根， 即函数y=t与函数 y=(m- 1 2 ) 2 - 1 4 的图象在[0，+∞）上有两个不同交点， ∴ - 1 4 ＜t≤0 ．