Question

如图，已知抛物线y=ax 2 +bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，- ），且与y轴交于点C（0，2），与x轴交于A，B

如图，已知抛物线y=ax 2 +bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，- ），且与y轴交于点C（0，2），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）． （1）求抛物线的解析式及A，B两点的坐标；（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，请说明理由；（3）在以AB为直径的⊙M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的解析式．

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Answer 1

（1）y= x 2 - x+2  A（2，0），B（6，0） （2）存在，2 （3）y=- x+2

解：（1）如图， 由题意，设抛物线的解析式为y=a（x-4） 2 - （a≠0） ∵抛物线经过（0，2） ∴a（0-4） 2 - =2 解得：a= ， ∴y= （x-4） 2 - ， 即：y= x 2 - x+2 当y=0时， x 2 - x+2=0 解得：x=2或x=6 ∴A（2，0），B（6，0）； （2）存在， 如图2，由（1）知：抛物线的对称轴l为x=4， 因为A、B两点关于l对称，连接CB交l于点P，则AP=BP，所以AP+CP=BC的值最小 ∵B（6，0），C（0，2） ∴OB=6，OC=2 ∴BC=2 ， ∴AP+CP=BC=2 ， ∴AP+CP的最小值为2 ； （3）如图3，连接ME， ∵CE是⊙M的切线 ∴ME⊥CE，∠CEM=90° 由题意，得OC=ME=2，∠ODC=∠MDE ∵在△COD与△MED中 ， ∴△COD≌△MED（AAS）， ∴OD=DE，DC=DM 设OD=x则CD=DM=OM-OD=4-x 则RT△COD中，OD 2 +OC 2 =CD 2 ， ∴x 2 +2 2 =（4-x） 2 ∴x= ， ∴D（ ，0） 设直线CE的解析式为y=kx+b ∵直线CE过C（0，2），D（ ，0）两点， 则 ， 解得： 。 ∴直线CE的解析式为y=- x+2。