Question

高中三角函数：求函数y=(4sinAcosA-1)/(sinA+cosA+1)(0

Answer 1

∵0°≦A≦90°,∴sinA＋cosA＞0.
令sinA＋cosA＝t,则（sinA＋cosA）^2＝t^2,∴（sinA）^2＋2sinAcosA＋（cosA）^2＝t^2,
∴2sinAcosA＝t^2－1,∴4sinAcosA＝2t^2－2.
∴y＝（2t^2－3）/（t＋1）＝［2（t＋1－1）^2－3］/（t＋1）
＝［2（t＋1）^2－4（t＋1）＋2－3］/（t＋1）＝2（t＋1）－1/（t＋1）－4,
∴y′＝2＋1/（t＋1）＞0.
∴给定的函数是增函数.
∵t＝sinA＋cosA＝√2（sinAcos45°＋cosAsin45°）＝√2sin（A＋45°）.
∵0°≦A≦90°,∴45°≦A＋45°≦135°,∴1/√2≦sin（A＋45°）≦1,∴1≦t≦√2.
∴y的最大值＝2（√2＋1）－1/（√2＋1）－4＝2√2－2－（√2－1）＝√2－1.
　y的最小值＝2（1＋1）－1/（1＋1）－4＝－1/2.