Question

设函数f(x)=x2+aln(1+x)有两个极值点x1,x2,且x1<x2求a的取值范围，并讨论f(x)的单调性

Answer 1

导函数在定义域上有两个不同的零点。根据初等基本函数的图像，可以得到结论。

供参考，请笑纳。

Answer 2

1+x>0，x>-1f'(x)=2x+a/(1+x)=(2x^2+2x+a)/(1+x)令f'(x)=02x^2+2x+a=0x1+x2=-1，x1x2=a/20<(x1+1)(x2+1)=x1x2+x2+x2+1<[(x1+1+x2+1)/2]^20<a/2<1/40<a<1/2x1=-(1+√(1-2a))/2，x2=(-1+√(1-2a))/2当x0，f(x)递增当x1<x<x2时，f'(x)x2时，f'(x)>0，f(x)递增所以增区间为(-∝，-(1+√(1-2a))/2)和((-1+√(1-2a))/2，+∝)；减区间为(-(1+√(1-2a))/2，(-1+√(1-2a))/2)