Question

如图，在⊙O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，连接AC，将△ACE沿AC翻折得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点

如图，在⊙O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，连接AC，将△ACE沿AC翻折得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点G．（1）证明：直线FC与⊙O相切；（2）若OB=BG，求证：四边形OCBD是菱形．

Answer 1

证明：（1）连接OC，
∵OA=OC，∴∠1=∠2
由翻折得，∠1=∠3，∠F=∠AEC=90°．
∴∠2=∠3．
∴OC∥AF．∴∠OCG=∠F=90°．
∵点C在圆上
∴直线FC与⊙O相切．

（2）证法一：
在Rt△OCG中，∵OB=BG，∴BC＝

1

2

OG＝OB，
∵直径AB垂直弦CD，∴

CB

＝

BD

∴CB=BD，∵OB=OC=OD
∴BC=OC=OD=BD
∴四边形OCBD是菱形．
证法二：在Rt△OCG中，
∵OB=BG
∴BC=

1

2

OG=OB，
∵OB=OC，
∴CB=CO
∵AB垂直于弦CD，
∴OE=EB
∵直径AB垂直弦CD，
∴CE=ED
∴四边形OCBD是平行四边形，
∵AB垂直于弦CD，
∴四边形OCBD是菱形．